quarta-feira, 9 de novembro de 2011

Logaritmos

..História...
No início do século XVII, a ciência na Europa deixava de ser especulativa e se baseava cada vez mais em experiências concretas.
O uso dos logaritmos foi proposto, pelos matemáticos: o escocês John Napier (1550-1617) e o suíço Jost Bürgi (1552-1632) no século XVII.
A criação desse novo conceito matemático estava a serviço de tornar, as complicadas operações de multiplicação e divisão mais práticas.
Eles elaboraram tabelas (tábuas) que tinham por base a relação existente entre progressões aritméticas (PA) e progressões geométricas (PG).
Segundo essas tabelas, a multiplicação e a divisão de quaisquer termos tomados de uma progressão geométrica relacionavam-se, respectivamente, à soma e à diferença dos termos correspondentes da progressão aritmética.

Hoje o logaritmo é utilizado:
-Na Escala Richter, para avaliar a intensidade de terremotos
-Nos Cálculos de pH (potencial de hidrogênio) na Química.
(Para verificar se a solução é ácida, básica ou neutra).
- Na Física, utilizamos logaritmos em acústica para
determinarmos a intensidade (decibel) de um som.
- Nos cálculos de Engenharia, Economia, Astronomia, Música e outros.

terça-feira, 7 de junho de 2011

Progressão Geométrica

...é uma seqüência de números reais, onde cada termo a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado por uma constante denominada razão.

Exemplos:
(1,2,4,8,16,32, ... ) PG de razão 2
(5,5,5,5,5,5,5, ... ) PG de razão 1
(100,50,25, ... ) PG de razão 1/2
(2,-6,18,-54,162, ...) PG de razão -3

... seu termo geral é dado por...
an = a1 multiplicado por q elevado n-1



Vídeos de aprendizagem do novo telecurso

Video 1



Vídeo 2




... Soma de Progressão Geométrica   / somatematica.com.br

... Conta a lenda que, quando o rei hindu Sheram conheceu o jogo de xadrez, ficou maravilhado com a variedade de jogadas que ele permitia. Ao saber que o inventor desse jogo era um de seus súditos, Sessa, o rei mandou chamá-lo para oferecer uma recompensa. O pedido de Sessa  foi tão simples que irritou o rei Sheram: um grão de trigo para a primeira casa do tabuleiro, dois para a segunda, quatro para a terceira, oito para a quarta, e assim por diante, até completar as 64 casas. Imediatamente o rei mandou seus súditos calcularem o total de grãos de trigo, que ele imaginava ser insuficiente para completar um saco. Quando soube do resultado ficou perplexo:   18 446 744 073 709 551 615 grãos na última casa, que é igual a  2 elevado a 64.


... Termo geral da soma, dos termos, de uma P.G. finita


- Considere a P.G. finita de n termos e razão q.
Para obter a soma (Sn ) dos termos, temos dois casos:

* 1º Caso: *P.G. com q = 1 , isto é ( 3,3,3,3,3,3,3). Nesse caso, a soma de seus n termos pode ser expressa por: Sn = n . a1
então, S7 = 7 . 3 = 21

* 2º Caso: *P.G. com q ≠ 1 onde a soma dos n termos da P.G. são obtido..pelo termo geral: ... Sn = a1.(qn-1)/q – 1

...vídeos de aprendizagem


Vídeo 1




Vídeo 2

sábado, 21 de maio de 2011

Soma de uma Progressão Aritmética

... A soma dos termos de uma Progressão Aritmética é dada pela Adição do primeiro termo com o último termo, multiplicado pelo número de termos e dividido por 2.

video 1




video 2



video 3

domingo, 1 de maio de 2011

Sequências e Progressão Aritmética

... Os vídeos abaixo discorrem sobre o aprendizado de Sequências e Progressão Aritmética


... Vídeos sobre Progressão Aritmética

Aula 33 (1 de 2)



Aula 33 (2 de 2)



..........................................................


Sucessões e Sequências

... Parte 1




... Parte 2

domingo, 10 de abril de 2011

Trabalho de Matemática 1ºs EFGH ... 2011

... Assista os vídeos e faça um resumo explicativo dos conjuntos relacionados
... A entrega será em folha almaço com letra legível(manuscrito) acompanhado de imagens.


Conjuntos Numéricos - Parte 1





Conjuntos Numéricos - Parte 2






Conjuntos Numéricos - Parte 3

quinta-feira, 7 de abril de 2011

Conjuntos Numéricos (1ºs EFGH..2011)

...A história nos mostra que desde muito tempo o homem sempre teve a preocupação em contar objetos e ter registros numéricos. Seja através de pedras, ossos, desenhos, dos dedos ou outra forma qualquer, em que procurava abstrair a natureza por meio de processos de determinação de quantidades.
...E essa procura pela abstração da natureza foi fundamental para a evolução, não só, mas também, dos conjuntos numéricos. E é sobre eles que passamos a dissertar.

...Conjunto dos Números Naturais
Como decorrência da necessidade de contar objetos surgiram os números naturais que é simbolizado pela letra N e é formado pelos números 0, 1, 2, 3, …, ou seja:

N = {0; 1; 2; 3; …}
Um subconjunto de N muito usado é o conjunto dos números naturais menos o zero, ou seja N - {0} = conjuntos dos números naturais positivos, que é representado por N*.
Observações:
Em N são definidas apenas as operações de adição e multiplicação;
Isto é fato pois se a e b são dois números naturais então a + b e a.b são também números naturais. Esta propriedade é conhecida como fechamento da operação;
Valem as propriedades associativa, comutativa e elemento neutro (0 para a adição e 1 para a multiplicação) para as duas operações e a distributiva para a multiplicação em N.
Como consequência, surge um novo conjunto para atender essa necessidade.

...Conjunto dos Números Inteiros
Chama-se o conjunto dos números inteiros, representado pela letra Z, o seguinte conjunto:

Z = {…, -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …}


No conjunto Z distinguimos alguns subconjuntos notáveis que possuem notação própria para representá-los:

Conjunto dos inteiros não negativos: Z+ = {0; 1; 2; 3; …};
Conjunto dos inteiros não positivos: Z- = {…; -3; -2; -1; 0};
Conjunto dos inteiros não nulos: Z* = {…, -3; -2; -1; 1; 2; 3; …};
Conjunto dos inteiros positivos Z+* = {1; 2; 3; …};
Conjunto dos inteiros negativos Z-* = {…; -3; -2; -1}.
Note que Z+ = N e, por essa razão, N é um subconjunto de Z.


Observações:
No conjunto Z, além das operações e suas propriedades mencionadas para N, vale a propriedade simétrico ou oposto para a adição. Isto é: para todo a em Z, existe -a em Z, de tal forma que a + (-a) = 0;
Devido a este fato podemos definir a operação de subtração em Z: a - b = a + (-b) para todo a e b pertencente a Z;
Note que a noção de inverso não existe em Z. Em outras palavras, dado q pertencente a Z, diferente de 1 e de -1, 1/q não existe em Z;

...Os números inteiros podem ser representados por pontos de uma reta orientada ou eixo, onde temos um ponto de origem, o zero, e à sua esquerda associam-se ordenadamente os inteiros negativos e à sua direita os inteiros positivos, separados por intervalos de mesmo comprimento;

...Em Z podemos introduzir o conceito de módulo ou valor absoluto: |x| = x se x >= 0 e |x| = -x se x < 0, para todo x pertencente a Z. Como decorrência da definição temos que |x| >= 0 para qualquer número inteiro.

...Conjunto dos Números Racionais
O conjunto dos números racionais, simbolizado pela letra Q, é o conjunto dos números que podem ser escritos na forma de uma fração p/q, com p e q inteiros quaisquer e q diferente de zero:


...Como todo número inteiro pode ser escrito na forma p/1, então Z é um subconjunto de Q. Valem também para o conjuntos dos números racionais as notações Q* (conjunto dos números racionais não nulos), Q+ (conjunto dos números racionais não negativos) e Q- (conjunto dos números racionais não positivos).

Observações:

São válidas todas as propriedades vistas para o conjunto dos números inteiros;
Além disso é válida a propriedade simétrico ou inverso para a multiplicação. Isto é, para todo a/b pertencente a Q,
...a/b diferente de zero,
...existe b/a em Q tal que (a/b)(b/a) = 1;
Decorre da propriedade acima que é possível definir a operação de divisão em Q* da seguinte forma (a/b):(c/d) = (a/b).(d/c), para quaisquer a, b, c e d pertencente a Q;
Todo número racional p/q pode ser escrito como um número decimal exato (ex: 1/2 = 0,5) ou como uma dízima periódica (1/3 = 0,333…).

Números Irracionais
Como o próprio nome sugere um número irracional é todo número não racional, isto é, todo número que não pode ser escrito na forma de uma fração p/q, onde p e q são inteiros e q diferente de zero.

São exemplos de números irracionais a raiz quadrada de 2 e a raiz cúbica de 3, ou seja, nenhum deles pertence a Q.

A título de ilustração vamos demonstrar, pela teoria do absurdo, que a raiz quadrada de 2 não pertence a Q.

Suponhamos que raiz quadrada de 2 é racional e admitamos que possa ser escrita como uma fração irredutível a/b, b diferente de zero:

Da expressão acima concluímos que a ao quadrado é par e que, portanto, a é par. Logo a = 2m, com m inteiro. Substituindo o valor de a na expressão anterior vem que:


Da mesma forma obtemos que b também é par, o que é um absurdo pois a/b é irredutível, ou seja, a e b são primos entre si, e portanto têm como divisor comum apenas o número 1, isto é, mdc(a,b) = 1.

Caso deseje obter maiores informações sobre as operações com números irracionais consulte os artigos publicados no blog na categoria Matemática.

...Conjunto dos Números Reais
O conjunto dos números reais, simbolizado pela letra R, é o formado por todos os números racionais e por todos os números irracionais:

R = {x | x é racional ou x é irracional}

Desse modo todos os conjuntos numéricos (N, Z e Q), bem como o conjunto dos números irracionais são subconjuntos de R.

Da mesma forma destacamos três outros subconjuntos de R: R* = conjunto dos reais não nulos, R+ = conjunto dos reais não negativos e R- = conjunto dos reais não positivos.



Referências:
Fundamentos de Matemática Elementar, Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce & Carlos Murakami, São Paulo, Atual Editora Ltda, edição 1977;
Matemática para o Ensino Médio: Volume Único, Manoel Jairo Bezerra, São Paulo, Editora Scipione, 2001.

Exercícios sobre Conjuntos (1ºs EFGH..2011)

1) Utilizando os símbolos  ⊂ ou ⊄, relacione  os  conjuntos:
A={x| x é sigla da região nordeste do Brasil },   
 B = { PE,  AL,  SE,  RN}  e
C ={ ES, BA,  RJ}, responda:
a)   A  ___ B         b)  B  ___  A      c)   A  ___ C     
d)  C  ___  A        e)   C  ___ B         f)   B  ___  C 
2) Avalie o diagrama e escreva:
a) A U B              b) B  A                    
c) A  C              d)  C  A  B
e) C U B U A        f) (B U C)  A
g) (B  A) U C     h)  (A U C)  B


3) A loja de brinquedos, Ri Happy, realizou uma pesquisa com bonecas e obteve as seguintes respostas:  92 meninas gostam da Barbie,  84 gostam da Susi, 76 gostam da Polly, 36 gostam da Barbie e Susi, 45 gostam da Barbie e Polly, 32 gostam da Susi e Polly e 15 gostam das  três.  Responda:
a) Qual o número de meninas entrevistadas?
b) Quantas gostam apenas da boneca Susi?
c) Quantas gostam de pelo menos duas bonecas ?
d) Quantas gostam somente  de duas bonecas ?
e) Quantas gostam de um tipo de boneca ?

4) A Revista Duas Rodas pesquisou sobre a preferência de motos e obteve as seguintes respostas:  864 pessoas adoram motos  Harley Davidson,  126 gostam das motos BMW, 74 gostam da Triumph,  42 opinaram por Harley e Triumph, 38 opinaram por BMW e Triumph, 62 opinaram por Harley e BMW e 18  opinaram pelas três marcas.    
Responda:
a) Quantos motociclistas gostam apenas de Harley Davidson ?
b) Quantos motociclistas gostam apenas  de BMW ?
c) Quantos motociclistas opinaram somente por uma marca ?   
d) Quantos motociclistas opinaram por pelo menos duas marcas ?
e)Quantos motociclistas foram entrevistados ?