...Logaritmos...

Logaritmos e Som

Decibéis
...A percepção do volume está relacionada à variação de pressão gerada por uma onda sonora e, portanto, à sua intensidade.
Nosso sistema auditivo tem dois limites de audibilidade:
- limiar de audibilidade (mínima intensidade audível)
- limite de dor (máximo nível de intensidade audível sem danos fisiológicos ou dor)
A gama entre os 2 limites é muito grande. Para uma frequência pura de 1000 Hz, esses limites vão de 10-12 watt/m2 a 1 watt/m2, ou seja, uma razão de 1 trilhão para 1.

...Numericamente, a referência em watt/m2 não é confortável. Para isso foi introduzida uma razão de compressão logarítmica, o decibel (dB).
...DECIBEL é uma relação logaritmica entre duas potências ou intensidades.
...dB = 10 log10 (I1/I2)

...O dB é uma unidade logarítmica muito usada em telecomunicações, por pelo menos dois motivos :
- O ouvido humano tem resposta logarítmica (sensação auditiva versus potência acústica)
- Em telecomunicações, se usam números extremamente grandes ou pequenos. O uso de logaritmos torna estes números pequenos e fáceis de manipular, e transforma produtos em somas e divisões em subtrações.

O dB é um número relativo e permite representar relações entre duas grandezas de mesmo tipo, como relações de potências, tensões, correntes ou qualquer outra relação adimensional. Portanto, permite definir ganhos e atenuações, relação sinal/ruído, dinâmica, etc...
...Por definição, uma quantidade Q em dB é igual a 10 vezes o logaritmo decimal da relação de duas potências, ou seja :
...Q(dB) = 10 log ( P1 / P2 ).
...Como a potência é proporcional ao quadrado da tensão dividida pela resistência do circuito, temos, aplicando as propriedades dos logaritmos (o log. do quadrado de n é duas vezes o log. de n) :
Q (dB) = 20 log ( V1 / V2 ) + 10 log ( R2 / R1)

...Outras unidades logarítmicas :
- O dBA : zero dBA equivale a uma intensidade sonora (pressão sonora) de 20 microPascal, e equivale aproximadamente ao limiar de audição. O limiar de dor se situa em torno de 120 dBA, ou seja, uma pressão 1 000 000 de vezes maior ou uma potência sonora 1 000 000 000 000 de vezes maior ! (a potência sonora é proporcional ao quadrado da pressão). O A se refere a um tipo de filtro de ponderação, que leva em conta a não linearidade do ouvido em freqüência.

- O Neper : Uma unidade bastante usada em calculo é o Neper, que é igual ao logaritmo neperiano da razão de duas tensões (ou correntes) na mesma impedância. Obs.: 1 N = 8,65 dB.
- O dBr é uma unidade relativa de medida de nível, em relação ao ponto zero de transmissão, (0 TLP), onde geralmente o nível do tom de teste é de 0 dBm.
Apenas indica o somatório dos ganhos e atenuações num ponto qualquer em relação ao ponto de referencia, ou ponto zero de transmissão.
- O dBm é uma unidade de medida de potência : 0 dBm = 1 mW (Não importa em qual resistência !)
P (dBm) = 10 log P (mW)
Portanto : 3 dBm = 2 mW , 30 dBm = 1W , -30 dBm = 1 microW
e ainda:
- O dBw é uma unidade de medida de potência: 0 dBw = 1W = 30 dBm
- O dBk é uma unidade de medida de potência: 0 dBk = 1 kW = 30 dBw = 60 dBm
- O dBm0 é uma unidade de medida de potência relativa ao ponto zero.
Geralmente, é usado para indicar o nível de outros sinais, como pilotos, tons de sinalização, ruído, fuga de portadora, diafonia, etc., em relação ao tom de teste.
Ex.: um tom de sinalização de –20dBm0 terá uma potência (ou nível) de –28 dBm num ponto onde o tom de teste tem –8dBm. ( ponto de –8dBr).
Ex.: se num determinado ponto o nível do ruído é de –34 dBm e o nível do tom de teste é de –4dBm, então o nível do ruído é de –30dBm0.
Obs.: a relação sinal/ruído em db é o nível do ruído em dBm0 com sinal trocado.
...Relação entre dBm, dBr e dbm0 : dBm = dBr + dBm0
- O dBu é uma unidade de medida de tensão, onde 0 dBu = 0,775V.
Um voltímetro pode ter uma escala graduada em dBu, relacionada com a tensão V por:
U(dbu) = 20 log ( V / 0, 775 )
...Como 0,775V corresponde a tensão desenvolvida por 1 mW num resistor de 600 ohms, a leitura em dBu corresponde a potência em dBm, desde que seja efetuada em um circuito cuja resistência de terminação é de 600 ohms.
Em qualquer outra impedância Z (resistiva), deve ser somado à leitura em dbu um fator de correção:
F(db) = 10 log ( 600 / Z ) para obter o valor da potência em dBm:
P (dBm) = U (dBu) + F (dB).

...Soma de sinais não coerentes (ruído branco ou sinais de freqüências diferentes) :
Por exemplo, qual é a potência total de um sinal com 10 dBm somado a um ruído de 6 dBm ? Solução : a diferença entre as parcelas é 10 dBm - 6 dBm = 4 dB (obs. : subtrair potências em unidades logarítmicas equivale a fazer um quociente em unidades lineares, portanto, o resultado é um numero adimensional, o dB). No gráfico da figura seguinte, obtemos para uma diferença de 4 dB o valor de 1,45 dB. A soma dos dois sinais tem uma potência de 10 dBm + 1,45 dB = 11,45 dBm.


Sinais não coerentes se somam em potencia. Sinais coerentes (mesma freqüência) se somam (vetorialmente) em tensão. É preciso calcular esta soma vetorial de tensão e depois passar para potencia. No caso de 2 sinais não coerentes, temos:
P1 = potencia maior, P2 = potencia menor,
diferença em dB : dP(dB) = P1(dBm)-P2(dBm) = 10log(P1/P2) : escala superior do gráfico acima.
...valor a ser somado (em dB) à maior potência (em dBm):
10log[(P1+P2)/P1] = 10log[1+(P2/P1)] ; como P2/P1=antilog(-dP/10), temos:
10log(1+antilog(-dP/10)): escala inferior do gráfico acima.
Somar x dB a uma potencia em dBm equivale a multiplicar esta potencia em unidades lineares (W, por exemplo) por um numero adimensional igual ao antilog(x/10), portanto resulta em uma nova potencia, e que pode ser expressa por exemplo em dBm. Portanto, a soma de dBm com dB resulta em dBm !. Da mesma forma, subtrair dB de uma potencia em dBm equivale a dividir esta potencia por um numero adimensional, resultando em uma nova potencia. Portanto, subtrair dB de dBm resulta em dBm !.

Obs.: Somar diretamente os valores em dBm não faz sentido, pois equivale a multiplicar estas potencias em unidades lineares! Por exemplo, as seguintes somas de sinais não coerentes:
0 dBm + 0 dBm = 3 dBm (e não 0 dBm ! )
0 dBm + 3 dBm = 4,76 dBm (e não 3 dBm !)
-2 dBm + 2 dBm = 3,45 dBm (e não 0 dBm !)
O sinal + se refere às unidades lineares de potencia, ou seja, indica que estamos somando as potencias em unidades lineares (W, mW, etc...) correspondentes aos valores em dBm.
...Mas:
0 dBm + 0 db = 0 dBm
0 dBm + 3 dB = 3 dBm
-2 dBm + 2 dB = 0 dBm

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Logaritmo e Biologia

A Teoria da Evolução de Darwin e o Logaritmo
No séc. passado um homem conseguiu ao mesmo tempo admiração e repulsa da Humanidade ao explicar a descoberta de ossos de animais muito antigos hoje conhecidos como dinossauros e, indiretamente, por revelar um parentesco longíquo entre o homem e o macaco. Seu nome era Sir CHARLES DARWIN e seus estudos, apesar do alvoroço que causaram, propiciaram uma verdadeira revolução no campo da biologia.
Há muito tempo antes, no séc. XVI, um barão escocês tinha feito uma outra revolução, só que esta havia sido mais silenciosa, contudo não menos importante, e envolvia não a biologia mas sim a matemática. Seu nome era JOHN NAPIER e ele criou a Teoria da Evolução dos Números, ou mais precisamente, os logarítmos.

Certa feita o Barão de Merchinston estava em seu castelo a tentar resolver um problema mais ou menos assim: existem números que podem ser expressos como produto de outros números - em especial 9 é igual a 3x3 ou 32 (lê-se 3 à segunda potência ou 3 ao quadrado) e 16 é igual a 2x2x2x2 ou mais simplesmente 24 (dois à quarta potência), onde o 4 é chamado de expoente, que indica quantas vezes a base (ou o número) 2 é multiplicada por si mesma. Equações da forma 2x = 8 são fáceis de se resolver quando consegue-se exprimir os dois lados da igualdade numa mesma base, ou seja, 8 é igual a 2x2x2 ou 23, o que implicaria ser o "xis" na equação ser igual a 3. Mas qual seria o significado de uma outra equação como a do tipo 2y = 5 ?

...Investigando um valor que satisfizesse esta equação, Napier concluiu que o número procurado não era inteiro e estava entre 2 e 3, pois 22 < 2y < 23. Aqui surgiram duas dúvidas: qual seria este valor e o que significaria elevar uma base a um expoente que não era inteiro? Depois de muito estudar, o barão notou que precisaria dar uma nova interpretação ao significado de uma base elevada a um expoente - era a sua única saída - e ele conseguiu.

"Vamos a observar os números 21, 22, 23 e 24, dizia ele; não da maneira tradicional e sim como números que evoluem (do latim LOGARITHM) de uma base (basis) 2". Assim 24 = 16 pode ser lido como "o 4 evolui (logarithm) na base (basis) 2 dando como resultado 16". Outro exemplo; 32 = 9 - "o 2 evolui (logarithm) na base (basis) 3 dando como resultado 9". No original em latim estas equações lêm-se:
...logarithmorum 16 basis 2 aequalis 4
...logarithmorum 9 basis 3 aequalis 2
... que também podem ser lidos como:"a evolução do número 16 na base (basis) 2 é 4" e "a evolução do número 9 na base (basis) 3 é dois".
...Com o tempo estas duas frases matemáticas foram resumidas a log216 = 4 e log39 = 2 , como hoje são ensinadas nas escolas, mas que ainda revelam o brilhantismo do gênio de NAPIER.
...A partir desta magnífica descoberta os matemáticos começaram a calcular os logaritmos de todos os números, em todas as bases possíveis. Em particular foi resolvida aquela "estranha" equação 2y = 5 da seguinte forma; "o número y que evolui (logarithm) na base (basis) 2 dando como resultado 5 foi escrito por Napier como sendo:
...que é justamente o ponto que une o grande DARWIN e o genial NAPIER. É pena que nem o barão parecia gostar de biologia e muito menos "Sir" DARWIN de matemática, pois a NAPIER jamais passou pela cabeça (imagino) algum parentesco, mesmo que longíquo, entre o homem e o macaco. E a DARWIN muito menos estudar a fundo a matemática. Porém não é que o grande matemático conseguiu "dizer" o que DARWIN disse trezentos anos antes (e apenas com números!) que "o homem descende do macaco"?


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Logaritmo e Química

...Logaritmo...chamamos de logaritmo de a, na base b, ao número c, tal que:

Onde:
a = logaritmando (a > 0)
b = base (b ≠ 1e > 0)
c = logaritmo

Uma observação importante sobre o estudo dos logaritmos diz respeito ao seu domínio. Só existem logaritmos de números positivos, com bases também positivas e diferentes de 1.

Curiosidades da Química
Os logaritmos são fundamentais na Química para o cálculo do pH (potencial de hidrogênio iônico). O pH é um índice que indica a acidez, neutralidade ou alcalinidade de um meio qualquer, ou seja, o valor do pH indica se uma solução é ácida, básica ou neutra.
pH = - log [H+]

...onde, [H+] representa a concentração dos íons H+ expressa em mol/L O logaritmo nesta definição é o logaritmo comum, na base 10. Por exemplo:

1) Água pura a 25 °C
[H+] = 10 -7 mol/L
pH = - log[10 -7] = 7 ...pH = 7
2) Solução ácida a 25 °C
[H+] = 10 -5 mol/L
pH = - log[10 -5] ...pH= 5
3) Solução básica (alcalina) a 25 °C
[H+] = 10 -9 mol/L
pH = - log[10 -9] ...pH= 9

A escala de pH é uma maneira de indicar a concentração de H+ numa solução. Esta escala varia entre o valor mínimo 0 (acidez máxima), e o máximo 14 (basicidade máxima). A 25ºC uma solução neutra tem um valor de pH=7.


Em soluções ácidas:
pH<7...[H+] >10-7 mol/L ...[OH-]<10-7mol/L

Em solução básicas:
pH>7...[H+]<10-7mol/L...[OH-]>10-7mol/L
Do mesmo modo pode-se definir o pOH em relação à concentração de íons OH-.
pOH = - log [OH-]
A partir da constante de dissociação da água que tem o valor de 10-14 a 25°C, pode-se determinar a relação entre o pOH e o pH. Assim pela definição de Kw tem-se a relação entre as duas actividades:

Kw =[H+][OH-] = 14

Ao aplicar logaritmos, obtém-se a relação entre o pH e o pOH:
pH + pOH = 14

Medida de pHO pH pode ser determinado:
• por adição de um indicador de pH na solução em análise. A cor do indicador muda confome o pH da solução. Médoto não preciso.
• usando um medidor de pH acoplado a um elétrodo de pH. O medidor de pH é um milivoltímetro com uma escala que converte o valor de tensão do elétrodo de pH em unidades de pH.


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Logaritmos & Torre Eiffel

...O perfil da Torre Eiffel é aproximadamente igual a curva decrescente de uma Função Logarítmica. Gustav Eiffel, seu idealizador, preocupado com seu cálculo estrutural a projetou para suportar ventos de até 250 km/h e se inclinar sem problemas conforme a dilatação provocada diariamente pelo calor do Sol. A torre foi construída sobre terreno arenoso, para atingir mais de 300 metros de altura, sem o uso de modernos guindastes e ainda fazer com que os quatro pilares se encontrem com encaixe milimétrico, formando uma plataforma situada a 57 metros de altura
...Cada componente da torre foi pré-fabricado em local distante do canteiro de obras, e mesmo assim todos se encaixarem perfeitamente, sem a necessidade de ajustes durante a colocação. Desta forma o escritório de Gustav optou pela do desenho do arquiteto Stephen Sauvestre, que possuía a resistência e beleza da forma de uma curva logarítmica. Atualmente possui 325 metros (adicionado a altura das antenas que possui). Na época de sua construção tinha aproximadamente 7 300 toneladas de ferro e hoje em dia tem aproximadamente 10 000 toneladas. A torre possui três andares. Na base foram usados cimento e aço. Com a ajuda de andaimes de madeira, entre 150 e 300 operários, orientados por engenheiros veteranos, começaram a montar a estrutura de ferro fundido, peça por peça. Outra centena de metalúrgicos trabalhavam numa fábrica forjando as 18 mil peças que iriam compor a torre.
... O complexo desenho das vigas foi projetado para garantir estabilidade contra ventos fortes que atingem a região. Já o design arqueado dos pés da base tinha caráter puramente estético em forma de uma curva logarítmica. Em 21 meses a estrutura metálica de 10 mil toneladas estava pronta.Os quatros pilares possuem quatro metros de cimento. Possui arcos ligando os quatro pilares instalados a 39 metros acima do solo. O primeiro andar fica a 57 metros acima do solo e pode suportar a presença de 3 000 pessoas ao mesmo tempo. O segundo andar fica a 115 metros acima do solo e suporta a presença de 1 600 pessoas. O terceiro andar fica a 276 metros acima do solo e suporta 400 pessoas.
...Em 1964 a Torre Eiffel entrou para a lista de monumentos históricos de Paris e hoje é considerada uma obra-prima da engenharia civil e do design arquitetônico. Ela recebe a cada ano mais de 6 milhões de turistas que, a 274 metros do solo, têm uma incrível vista. Num dia claro, com a ajuda de um binóculo, o raio de visão alcança aproximadamente 60 quilômetros.

Torre Eiffel

...A Torre Eiffel,(Tour Eiffel), é uma torre de ferro construída no Campo de Marte ao lado do Rio Sena em Paris. A torre tornou-se um ícone mundial da França é uma das mais conhecidas estruturas do mundo.

...Ela foi construída em 1889, em Paris, como parte das comemorações do centenário da Revolução Francesa. Durante os preparativos para os festejos, o governo francês decidiu construir um monumento para marcar a data. Promoveu-se, então, um concurso para escolher o melhor projeto. Após analisar mais de 100 propostas, o comitê responsável optou pela idéia de uma torre, apresentada pelo renomado engenheiro francês Gustave Eiffel. Ele já havia trabalhado em inovadores projetos arquitetônicos, como a construção da estrutura da Estátua da Liberdade, em Nova York. A ousadia da torre de Eiffel, desenhada para ter 300 metros de altura, gerou na época muitas discussões e desconfianças.

...O projeto do engenheiro Gustave Eiffel (1832-1923), de quem herdaria o nome, da torre com uma estrutura metálica que se tornaria, então, a estrutura mais alta do mundo construída pelo homem. Com seus 317 metros de altura, possuía 7300 toneladas quando foi construída, sendo que atualmente deva passar das 10000, já que são abrigados restaurantes, museus, lojas, entre muitas outras estruturas que não possuía na época de sua construção.

... Eiffel, um notável construtor de pontes, era mestre nas construções metálicas e havia desenhado a armação da Estátua da Liberdade, erguida pouco antes no porto de Nova Iorque. Quando o contrato de vinte anos do terreno da Exposição mundial (de 1889) expirou, em 1909, a Torre Eiffel quase que foi demolida, mas o seu valor como uma antena de transmissão de Rádio a salvou.

... Os últimos vinte metros desta magnífica torre correspondem a antena de rádio que foi adicionada posteriormente.A torre é visitada anualmente por 6,9 milhões de pessoas.

Função logarítmica

...O conceito de função logarítmica está implícito na definição de Napier e em toda a sua obra sobre logaritmos.
...A invenção dos logaritmos ( palavra de origem grega:(logos) = tratado, arithmos (ariqmos) = números), deve-se ao matemático escocês John Napier, barão de Merchiston (1550-1617), que se interessou fundamentalmente pelo cálculo numérico e pela trigonometría. Em 1614, e ao fim de 20 anos de trabalho, publicou a obra Logarithmorum canonis descriptio, onde explica como se utilizam os logaritmos, mas não relata o processo como chegou a eles.
...Um ano depois, em 1615, o matemático inglês Henry Briggs (1561-1631), visitou Napier e sugeriu-lhe a utilização da base 10. A Napier agradou-lhe a ideia e resolveram elaborar as respectivas tábuas dos logaritmos decimais. Com a morte de Napier é Brigs que conclui o trabalho e em 1618, publica Logarithmorum Chiliaes prima, primeiro tratado sobre os logaritmos de base 10 e faz o calculo para os números de 1 a 20 000 e de 90 000 a 100 000.
...A definição de logaritmo logb a = x Û bx = a, onde a base b > 0 e b ¹ 1 e o logaritmando a > 0. Na igualdade logb a = x, lê-se: o logaritmo ou log de a na base b é igual a x, onde a é o logaritmando, b a base e x é o logaritmo.

FUNÇÃO LOGARÍTMICA - É toda função f: que associa a cada x o logaritmo, na base b, de x: f(x) = logb x

Exemplos:

a) f(x) = log3 x
b) g(x) = log1/3 x

Gráficos da Função Logarítmica

...Função Decrescente...
...0 < a < 1




...Função Crescente...
...a > 1



Observações:

a) O gráfico da função logarítmica passa sempre pelo ponto (1,0).

b) O gráfico nunca toca o eixo y e não ocupa pontos dos quadrantes II e III.

c) Quando a > 1, a função logarítmica é crescente (x1 > x2 loga x1 > loga x2).

d) Quando 0 < a <1, a função logarítmica é decrescente (x1 > x2 loga x1 < loga x2).

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