Uma equação é caracterizada por ter uma igualdade e a presença de uma ou mais incógnitas. Uma equação exponencial é uma equação onde a incógnita encontra-se no expoente.
Veja alguns exemplos:
3^x = 81
(2x)^x – 1 = 25
...Essas equações possuem uma maneira diferente de resolvermos, ou seja, de acharmos o valor da raiz (valor que a incógnita pode assumir para que a igualdade continue verdadeira), exemplos:
►5^x = 625
Para acharmos o valor que x deverá assumir temos que fatorar o 625. Fatorar é dividir um número por fatores primos.
625 = 5 . 5 . 5 . 5 = 5^4
Assim, podemos dizer que 625 = 5^4 , comparando essa fatoração com a equação percebemos que x = 4.
http://www.brasilescola.com/matematica/equacao-exponencial.htm
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aula 58(01 de 02)
aula 58 (02 de 02)
domingo, 15 de novembro de 2009
sábado, 3 de outubro de 2009
Atividade de Reposição
...Atividade proposta na reposição de aulas
...dia 03/10/2009
...Resolva o exercício 4, página 34, do caderno do aluno.
...Esta atividade deverá ser apresentada no Caderno
...não copie do colega, aprenda com seus erros.
...Bom trabalho.
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...dia 03/10/2009
...Resolva o exercício 4, página 34, do caderno do aluno.
...Esta atividade deverá ser apresentada no Caderno
...não copie do colega, aprenda com seus erros.
...Bom trabalho.
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quinta-feira, 24 de setembro de 2009
terça-feira, 22 de setembro de 2009
sexta-feira, 18 de setembro de 2009
Atividade na reposição de aulas
...Atividade proposta na reposição de aulas
...dia 19/09/2009 reposição de 07/08/2009
...esta atividade deverá ser apresentada até 22/09/2009
...não copie do colega, aprenda com seus erros.
...Em folha quadriculada, construa os gráficos do exercício 1, página 28, do caderno do aluno.
...Bom trabalho.
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...dia 19/09/2009 reposição de 07/08/2009
...esta atividade deverá ser apresentada até 22/09/2009
...não copie do colega, aprenda com seus erros.
...Em folha quadriculada, construa os gráficos do exercício 1, página 28, do caderno do aluno.
...Bom trabalho.
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Função do 2º grau
A função do 2º grau, também denominada função quadrática, é definida pela expressão do tipo: y = f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são constantes reais e a não pode ser igual a zero.
Exemplos:
a) y=x²+3x+2 ( a=1; b=3; c=2 )
b) y=x² ( a=1; b=0; c=0 )
c) y=x²-4 ( a=1; b=0; c=-4 )
Gráfico de uma função do 2º grau:
...O gráfico de uma função quadrática é uma parábola
Podemos visualizar uma parábola em um parque de diversões, simplesmente olhando para a montanha russa.
Vídeos
...aula 31 (1 de 2)
...aula 31 (2 de 2)
...aula 32 (1 de 2)
...aula 32 (2 de 2)
Exemplos:
a) y=x²+3x+2 ( a=1; b=3; c=2 )
b) y=x² ( a=1; b=0; c=0 )
c) y=x²-4 ( a=1; b=0; c=-4 )
Gráfico de uma função do 2º grau:
...O gráfico de uma função quadrática é uma parábola
Podemos visualizar uma parábola em um parque de diversões, simplesmente olhando para a montanha russa.
Vídeos
...aula 31 (1 de 2)
...aula 31 (2 de 2)
...aula 32 (1 de 2)
...aula 32 (2 de 2)
sábado, 5 de setembro de 2009
Atividade na Reposição em 05/09
...Atividade proposta na reposição de aulas
...dia 05/09/2009 reposição de 06/08/2009
...esta atividade deverá ser entregue até 11/09/2009
...resolva os dois exercícios e entregue em folha almaço ou similar
...não copie do colega, aprenda com seus erros. .
..Exercício:
1. Na cidade de São Paulo, a prestação de serviço de táxi pratica preços que correspondem a uma função do 1º grau ( y = a.x + b ).
Esta função é composta de duas partes, onde a parte fixa b corresponde a bandeirada e a parte variável a é multiplicada pelos quilômetros rodados x .
...Sabendo que uma pessoa fez duas viagens pagando: R$ 14,00 por 5 Km e no dia seguinte R$ 35,00 por 15 km, calcule:
a) O valor da Bandeirada b e o valor do quilômetro rodado a.
b) Escreva a função que corresponde aos preços praticados pelo serviço de táxi em São Paulo.
c) Calcule o valor de uma corrida que percorre 20 km
d) Qual a diferença entre o custo de uma corrida de 25km e 26km.
e) Esboce o gráfico do custo y em função dos x quilômetros.
PS: Caso tenha alguma dificuldade assista o video aula 2 de 2.
Exposto nesta página.
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...dia 05/09/2009 reposição de 06/08/2009
...esta atividade deverá ser entregue até 11/09/2009
...resolva os dois exercícios e entregue em folha almaço ou similar
...não copie do colega, aprenda com seus erros. .
..Exercício:
1. Na cidade de São Paulo, a prestação de serviço de táxi pratica preços que correspondem a uma função do 1º grau ( y = a.x + b ).
Esta função é composta de duas partes, onde a parte fixa b corresponde a bandeirada e a parte variável a é multiplicada pelos quilômetros rodados x .
...Sabendo que uma pessoa fez duas viagens pagando: R$ 14,00 por 5 Km e no dia seguinte R$ 35,00 por 15 km, calcule:
a) O valor da Bandeirada b e o valor do quilômetro rodado a.
b) Escreva a função que corresponde aos preços praticados pelo serviço de táxi em São Paulo.
c) Calcule o valor de uma corrida que percorre 20 km
d) Qual a diferença entre o custo de uma corrida de 25km e 26km.
e) Esboce o gráfico do custo y em função dos x quilômetros.
PS: Caso tenha alguma dificuldade assista o video aula 2 de 2.
Exposto nesta página.
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terça-feira, 1 de setembro de 2009
Funções
...Função do 1º grau e sua representação gráfica
Aula ( 1 de 2 )
Aula ( 2 de 2 )
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Aula ( 1 de 2 )
Aula ( 2 de 2 )
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sexta-feira, 28 de agosto de 2009
Atividade na Reposição de aulas
...Atividade proposta na reposição de aulas
...dia 29/08/2009 reposição de 05/08/2009
...esta atividade deverá ser entregue até 04/09/2009
...resolva os dois exercícios e entregue em folha almaço ou similar
...não copie do colega, aprenda com seus erros.
...Exercícios:
1. Na produção de peças, uma indústria tem o custo C composto pela parte fixa de R$ 0,80, somado a parte variável de R$ 0,50 multiplicada por cada unidade produzida x. Pede-se:
a) Escreva a sentença matemática que fornece o custo C total da produção de peças.
b) Calcule o custo na produção de 100 peças.
c) Qual a diferença de custo na produção de 125 e 126 peças. Verifique se há constante.
d) Esboce o gráfico do custo C em função da produção de x peças.
2. Um gerador consome cerca de 2 litros de combustível por dia. Sabendo que a capacidade do tanque é de 60 litros e seu consumo C varia de acordo com a fórmula C = 60 – 2.t , onde t é o tempo em dias. Pergunta-se:
a) Calcule o número de dias necessários para consumir 35 litros de combustível.
b) Encontre a quantidade de combustível após 20 dias de uso.
c) Esboce o gráfico do consumo C em função do tempo t .
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...dia 29/08/2009 reposição de 05/08/2009
...esta atividade deverá ser entregue até 04/09/2009
...resolva os dois exercícios e entregue em folha almaço ou similar
...não copie do colega, aprenda com seus erros.
...Exercícios:
1. Na produção de peças, uma indústria tem o custo C composto pela parte fixa de R$ 0,80, somado a parte variável de R$ 0,50 multiplicada por cada unidade produzida x. Pede-se:
a) Escreva a sentença matemática que fornece o custo C total da produção de peças.
b) Calcule o custo na produção de 100 peças.
c) Qual a diferença de custo na produção de 125 e 126 peças. Verifique se há constante.
d) Esboce o gráfico do custo C em função da produção de x peças.
2. Um gerador consome cerca de 2 litros de combustível por dia. Sabendo que a capacidade do tanque é de 60 litros e seu consumo C varia de acordo com a fórmula C = 60 – 2.t , onde t é o tempo em dias. Pergunta-se:
a) Calcule o número de dias necessários para consumir 35 litros de combustível.
b) Encontre a quantidade de combustível após 20 dias de uso.
c) Esboce o gráfico do consumo C em função do tempo t .
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segunda-feira, 24 de agosto de 2009
Plano Cartesiano
...breve história da criação do Plano Cartesiano...
...apresentação da localização dos pontos no Plano Cartesiano...
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...apresentação da localização dos pontos no Plano Cartesiano...
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terça-feira, 5 de maio de 2009
DIA DA MATEMÁTICA
...Dia 06 de maio
...Dia Nacional da Matemática
...Em homenagem a Malba Tahan, no dia de seu nascimento – 6 de maio – foi decretado DIA DA MATEMÁTICA pela Assembléia Legislativa do Rio de Janeiro.
...OS TRINTA E CINCO CAMELOS - Malba Tahan
Poucas horas havia que viajávamos sem interrupção, quando nos ocorreu uma aventura digna de registro, na qual meu companheiro Beremiz, com grande talento, pôs em prática as suas habilidades de exímio algebrista.
Encontramos, perto de um antigo caravançará meio abandonado, três homens que discutiam acaloradamente ao pé de um lote de camelos. Por entre pragas e impropérios, gritavam possessos, furiosos:
— Não pode ser!
— Isto é um roubo!
— Não aceito!
O inteligente Beremiz procurou informar-se do que se tratava.
— Somos irmãos — esclareceu o mais velho — e recebemos como herança esses 35 camelos. Segundo a vontade expressa de meu pai, devo eu receber a metade, o meu irmão Hamed Namir uma terça parte, e ao Harim, o mais moço, deve tocar apenas a nona parte. Não sabemos, porém, como dividir dessa forma 35 camelos. A cada partilha proposta, segue-se a recusa dos outros dois, pois a metade de 35 é 17 e meio! Como fazer a partilha, se a terça parte e a nona parte de 35 também não são exatas?
— É muito simples — atalhou o “homem que calculava”. — Encarregar-me-ei de fazer com justiça essa divisão, se permitirem que eu junte aos 35 camelos da herança este belo animal, que em boa hora aqui nos trouxe.
Neste ponto, procurei intervir na questão:
— Não posso consentir em semelhante loucura! Como poderíamos concluir a viagem, se ficássemos sem o nosso camelo?
— Não te preocupes com o resultado, ó “bagdali”! — replicou-me, em voz baixa, Beremiz. — Sei muito bem o que estou fazendo. Cede-me o teu camelo e verás, no fim, a que conclusão quero chegar.
Tal foi o tom de segurança com que ele falou, que não tive dúvida em entregar-lhe o meu belo jamal, que imediatamente foi reunido aos 35 ali presentes, para serem repartidos pelos três herdeiros.
— Vou, meus amigos — disse ele, dirigindo-se aos três irmãos — fazer a divisão justa e exata dos camelos, que são agora, como vêem, em número de 36.
E voltando-se para o mais velho dos irmãos, assim falou:
— Deves receber, meu amigo, a metade de 35, isto é, 17 e meio. Receberás a metade de 36, ou seja, 18. Nada tens a reclamar, pois é claro que saíste lucrando com esta divisão.
Dirigindo-se ao segundo herdeiro, continuou:
— E tu, Hamed Namir, devias receber um terço de 35, isto é, 11 e pouco. Vais receber um terço de 36, isto é, 12. Não poderás protestar, pois tu também saíste com visível lucro na transação.
E disse, por fim, ao mais moço:
— E tu, jovem Harim Namir, segundo a vontade de teu pai, devias receber uma nona parte de 35, isto é, 3 e pouco. Vais receber um nono de 36, isto é, 4. O teu lucro foi igualmente notável. Só tens a agradecer-me pelo resultado.
Numa voz pausada e clara, concluiu:
— Pela vantajosa divisão feita entre os irmãos Namir — partilha em que todos os três saíram lucrando — couberam 18 camelos ao primeiro, 12 ao segundo e 4 ao terceiro, o que dá um total de 34 camelos. Dos 36 camelos sobraram, portanto, dois. Um pertence, como sabem, ao “bagdali” meu amigo e companheiro; outro, por direito, a mim, por ter resolvido a contento de todos o complicado problema da herança.
— Sois inteligente, ó estrangeiro! — confessou, com admiração e respeito, o mais velho dos três irmãos. — Aceitamos a vossa partilha, na certeza de que foi feita com justiça e eqüidade.
E o astucioso Beremiz — o “homem que calculava” — tomou logo posse de um dos mais belos camelos do grupo, e disse-me, entregando-me pela rédea o animal que me pertencia:
— Poderás agora, meu amigo, continuar a viagem no teu camelo manso e seguro. Tenho outro, especialmente para mim.
E continuamos a nossa jornada para Bagdá.
(Malba Tahan, Seleções - Os melhores contos – Conquista, Rio, 1963)
...Dia Nacional da Matemática
...Em homenagem a Malba Tahan, no dia de seu nascimento – 6 de maio – foi decretado DIA DA MATEMÁTICA pela Assembléia Legislativa do Rio de Janeiro.
...OS TRINTA E CINCO CAMELOS - Malba Tahan
Poucas horas havia que viajávamos sem interrupção, quando nos ocorreu uma aventura digna de registro, na qual meu companheiro Beremiz, com grande talento, pôs em prática as suas habilidades de exímio algebrista.
Encontramos, perto de um antigo caravançará meio abandonado, três homens que discutiam acaloradamente ao pé de um lote de camelos. Por entre pragas e impropérios, gritavam possessos, furiosos:
— Não pode ser!
— Isto é um roubo!
— Não aceito!
O inteligente Beremiz procurou informar-se do que se tratava.
— Somos irmãos — esclareceu o mais velho — e recebemos como herança esses 35 camelos. Segundo a vontade expressa de meu pai, devo eu receber a metade, o meu irmão Hamed Namir uma terça parte, e ao Harim, o mais moço, deve tocar apenas a nona parte. Não sabemos, porém, como dividir dessa forma 35 camelos. A cada partilha proposta, segue-se a recusa dos outros dois, pois a metade de 35 é 17 e meio! Como fazer a partilha, se a terça parte e a nona parte de 35 também não são exatas?
— É muito simples — atalhou o “homem que calculava”. — Encarregar-me-ei de fazer com justiça essa divisão, se permitirem que eu junte aos 35 camelos da herança este belo animal, que em boa hora aqui nos trouxe.
Neste ponto, procurei intervir na questão:
— Não posso consentir em semelhante loucura! Como poderíamos concluir a viagem, se ficássemos sem o nosso camelo?
— Não te preocupes com o resultado, ó “bagdali”! — replicou-me, em voz baixa, Beremiz. — Sei muito bem o que estou fazendo. Cede-me o teu camelo e verás, no fim, a que conclusão quero chegar.
Tal foi o tom de segurança com que ele falou, que não tive dúvida em entregar-lhe o meu belo jamal, que imediatamente foi reunido aos 35 ali presentes, para serem repartidos pelos três herdeiros.
— Vou, meus amigos — disse ele, dirigindo-se aos três irmãos — fazer a divisão justa e exata dos camelos, que são agora, como vêem, em número de 36.
E voltando-se para o mais velho dos irmãos, assim falou:
— Deves receber, meu amigo, a metade de 35, isto é, 17 e meio. Receberás a metade de 36, ou seja, 18. Nada tens a reclamar, pois é claro que saíste lucrando com esta divisão.
Dirigindo-se ao segundo herdeiro, continuou:
— E tu, Hamed Namir, devias receber um terço de 35, isto é, 11 e pouco. Vais receber um terço de 36, isto é, 12. Não poderás protestar, pois tu também saíste com visível lucro na transação.
E disse, por fim, ao mais moço:
— E tu, jovem Harim Namir, segundo a vontade de teu pai, devias receber uma nona parte de 35, isto é, 3 e pouco. Vais receber um nono de 36, isto é, 4. O teu lucro foi igualmente notável. Só tens a agradecer-me pelo resultado.
Numa voz pausada e clara, concluiu:
— Pela vantajosa divisão feita entre os irmãos Namir — partilha em que todos os três saíram lucrando — couberam 18 camelos ao primeiro, 12 ao segundo e 4 ao terceiro, o que dá um total de 34 camelos. Dos 36 camelos sobraram, portanto, dois. Um pertence, como sabem, ao “bagdali” meu amigo e companheiro; outro, por direito, a mim, por ter resolvido a contento de todos o complicado problema da herança.
— Sois inteligente, ó estrangeiro! — confessou, com admiração e respeito, o mais velho dos três irmãos. — Aceitamos a vossa partilha, na certeza de que foi feita com justiça e eqüidade.
E o astucioso Beremiz — o “homem que calculava” — tomou logo posse de um dos mais belos camelos do grupo, e disse-me, entregando-me pela rédea o animal que me pertencia:
— Poderás agora, meu amigo, continuar a viagem no teu camelo manso e seguro. Tenho outro, especialmente para mim.
E continuamos a nossa jornada para Bagdá.
(Malba Tahan, Seleções - Os melhores contos – Conquista, Rio, 1963)
sábado, 4 de abril de 2009
Leonardo Fibonacci
...Leonardo Pisano ou Leonardo de Pisa (1170 — 1250) - também conhecido como Fibonacci após a sua morte - foi um matemático italiano, dito como o primeiro grande matemático europeu depois da decadência helênica.
É considerado por alguns como o mais talentoso matemático da Idade Média. Ficou conhecido pela descoberta da sequência de Fibonacci e pelo seu papel na introdução dos algarismos árabes na Europa.
...vídeo sobre a descoberta de Fibonacci
Biografia
...O apelido de família de seu pai era "Bonacci" (homem de boa natureza) e o apelido dele próprio, Fibonacci, diminutivo de fillius Bonacci, que provavelmente seria filho de Bonacci. O seu pai dirigia um escritório comercial no norte da África e o jovem Leonardo muitas vezes viajou com ele; lá, dos árabes, ele conheceu o sistema de numeração hindu.
...Fibonacci convenceu-se da superioridade dos algarismos árabes em comparação com os algarismos romanos, que eram utilizados pelos europeus à época. Para compreender essa superioridade, basta tentar efetuar a divisão de 4068 por 12, ou a multiplicação desses mesmos números com a numeração romana.
...Viajou através dos países mediterrâneos para estudar com conhecidos matemáticos árabes de seu tempo. Em 1202, com 32 anos de idade, publicou "Liber Abaci", Livro do Ábaco, que nos chegou graças a sua segunda edição de 1228. Esse livro contém uma grande quantidade de assuntos relacionados com a Aritmética e a Álgebra da época, e realizou um papel importante no desenvolvimento matemático na Europa nos séculos seguintes, pois, por esse livro, os europeus vieram a conhecer os algarismos hindus, também denominados arábicos. A teoria contida em Liber Abaci é ilustrada com muitos problemas que representam uma grande parte do livro.
...Esclareceu o sistema de posição árabe dos números, incluindo o número zero. Esse livro mostrou a oportunidade prática do novo sistema numeral, aplicando-o em contabilidade comercial, conversão de pesos e medidas, cálculo de percentagens e câmbio. O livro foi aceito com entusiasmo pela Europa educada, e teve profundo efeito no pensamento europeu. Esse elegante sistema de sinais numéricos, em breve, substituiria o não mais oportuno sistema de algarismos romanos.
Fonte: Wikipédia
Problema dos Coelhos
...Por volta do ano 1202, Fibonacci propõe na sua obra Liber abaci o seguinte problema:
"Num pátio fechado coloca-se um casal de coelhos. Supondo que em cada mês, a partir do segundo mês de vida, cada casal dá origem a um novo casal de coelhos, ao fim de um ano, quantos casais de coelhos estão no pátio?"
...Na prática: você começa com 0 e 1, e então produz o próximo número de Fibonacci somando os dois anteriores para formar o próximo. Os primeiros Números de Fibonacci para n = 0, 1,... são...
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946...
... Os números descrevem o número de casais em uma população de coelhos depois de n meses se for suposto que:
* no primeiro mês nasce apenas um casal,
* casais amadurecem sexualmente (e reproduzem-se) apenas após o segundo mês de vida,
* não há problemas genéticos no cruzamento consangüíneo,
* todos os meses, cada casal fértil dá a luz a um novo casal, e
* os coelhos nunca morrem.
...Para resolver este problema é preciso prestar atenção ao processo de procriação do casal inicial de coelhos. Suponhamos, para ter uma ideia, que o primeiro casal de coelhos nasceu no dia 1 de Janeiro.
...No dia 1 de Fevereiro, isto é, ao cabo de um mês, ainda não serão férteis. Porém, no dia 1 de Março já terão descendentes, e neste mês teremos um total de dois casais de coelhos.
...No dia 1 de Abril, esse segundo casal de coelhos não será ainda fértil, mas o casal inicial de coelhos voltará a ter coelhinhos, e no quarto mês teremos um total de três casais de coelhos, dois dos quais serão férteis no dia 1 de Maio. Por conseguinte, para o quinto mês existirão cinco casais.
...Se raciocinarmos de modo semelhante, temos que no dia 1 de Junho ter-se-ão 8 casais de coelhos, em 1 de Julho 13 casais, em 1 de Agosto 21 casais e assim sucessivamente.
...Ao cabo de um ano, isto é, no dia 1 de Janeiro do ano seguinte, prevê-se que 144 casais de coelhos deêm voltas pelo pátio.
...O número de casais de coelhos no mês n é o termo Fn da sucessão de Fibonacci
................Fn= Fn-1+Fn-2 , n > 2.
...E se tudo correr bem, no ano seguinte, isto é, dois anos depois, espera-se que serão 46.368 casais de coelhos, os que temos de alimentar!
...Desde o século XIII, muitos matemáticos, além do próprio Fibonacci, dedicaram-se ao estudo da seqüência que foi proposta, e foram encontradas inúmeras aplicações para ela no desenvolvimento de modelos explicativos de fenômenos naturais.
Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm31/coelhos.htm
É considerado por alguns como o mais talentoso matemático da Idade Média. Ficou conhecido pela descoberta da sequência de Fibonacci e pelo seu papel na introdução dos algarismos árabes na Europa.
...vídeo sobre a descoberta de Fibonacci
Biografia
...O apelido de família de seu pai era "Bonacci" (homem de boa natureza) e o apelido dele próprio, Fibonacci, diminutivo de fillius Bonacci, que provavelmente seria filho de Bonacci. O seu pai dirigia um escritório comercial no norte da África e o jovem Leonardo muitas vezes viajou com ele; lá, dos árabes, ele conheceu o sistema de numeração hindu.
...Fibonacci convenceu-se da superioridade dos algarismos árabes em comparação com os algarismos romanos, que eram utilizados pelos europeus à época. Para compreender essa superioridade, basta tentar efetuar a divisão de 4068 por 12, ou a multiplicação desses mesmos números com a numeração romana.
...Viajou através dos países mediterrâneos para estudar com conhecidos matemáticos árabes de seu tempo. Em 1202, com 32 anos de idade, publicou "Liber Abaci", Livro do Ábaco, que nos chegou graças a sua segunda edição de 1228. Esse livro contém uma grande quantidade de assuntos relacionados com a Aritmética e a Álgebra da época, e realizou um papel importante no desenvolvimento matemático na Europa nos séculos seguintes, pois, por esse livro, os europeus vieram a conhecer os algarismos hindus, também denominados arábicos. A teoria contida em Liber Abaci é ilustrada com muitos problemas que representam uma grande parte do livro.
...Esclareceu o sistema de posição árabe dos números, incluindo o número zero. Esse livro mostrou a oportunidade prática do novo sistema numeral, aplicando-o em contabilidade comercial, conversão de pesos e medidas, cálculo de percentagens e câmbio. O livro foi aceito com entusiasmo pela Europa educada, e teve profundo efeito no pensamento europeu. Esse elegante sistema de sinais numéricos, em breve, substituiria o não mais oportuno sistema de algarismos romanos.
Fonte: Wikipédia
Problema dos Coelhos
...Por volta do ano 1202, Fibonacci propõe na sua obra Liber abaci o seguinte problema:
"Num pátio fechado coloca-se um casal de coelhos. Supondo que em cada mês, a partir do segundo mês de vida, cada casal dá origem a um novo casal de coelhos, ao fim de um ano, quantos casais de coelhos estão no pátio?"
...Na prática: você começa com 0 e 1, e então produz o próximo número de Fibonacci somando os dois anteriores para formar o próximo. Os primeiros Números de Fibonacci para n = 0, 1,... são...
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946...
... Os números descrevem o número de casais em uma população de coelhos depois de n meses se for suposto que:
* no primeiro mês nasce apenas um casal,
* casais amadurecem sexualmente (e reproduzem-se) apenas após o segundo mês de vida,
* não há problemas genéticos no cruzamento consangüíneo,
* todos os meses, cada casal fértil dá a luz a um novo casal, e
* os coelhos nunca morrem.
...Para resolver este problema é preciso prestar atenção ao processo de procriação do casal inicial de coelhos. Suponhamos, para ter uma ideia, que o primeiro casal de coelhos nasceu no dia 1 de Janeiro.
...No dia 1 de Fevereiro, isto é, ao cabo de um mês, ainda não serão férteis. Porém, no dia 1 de Março já terão descendentes, e neste mês teremos um total de dois casais de coelhos.
...No dia 1 de Abril, esse segundo casal de coelhos não será ainda fértil, mas o casal inicial de coelhos voltará a ter coelhinhos, e no quarto mês teremos um total de três casais de coelhos, dois dos quais serão férteis no dia 1 de Maio. Por conseguinte, para o quinto mês existirão cinco casais.
...Se raciocinarmos de modo semelhante, temos que no dia 1 de Junho ter-se-ão 8 casais de coelhos, em 1 de Julho 13 casais, em 1 de Agosto 21 casais e assim sucessivamente.
...Ao cabo de um ano, isto é, no dia 1 de Janeiro do ano seguinte, prevê-se que 144 casais de coelhos deêm voltas pelo pátio.
...O número de casais de coelhos no mês n é o termo Fn da sucessão de Fibonacci
................Fn= Fn-1+Fn-2 , n > 2.
...E se tudo correr bem, no ano seguinte, isto é, dois anos depois, espera-se que serão 46.368 casais de coelhos, os que temos de alimentar!
...Desde o século XIII, muitos matemáticos, além do próprio Fibonacci, dedicaram-se ao estudo da seqüência que foi proposta, e foram encontradas inúmeras aplicações para ela no desenvolvimento de modelos explicativos de fenômenos naturais.
Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm31/coelhos.htm
segunda-feira, 23 de março de 2009
2ª Trabalho....1ºs F, G, H e I
2º Trabalho de Matemática
...esta atividade deverá ser feita em dupla e entregue no dia da Avaliação...
1) A Ri Happy, Brinquedos, realizou uma pesquisa com bonecas e obteve as seguintes respostas: 92 meninas gostam da Barbie, 84 gostam da Susi, 76 gostam da Polly, 36 gostam da Barbie e Susi, 45 gostam da Barbie e Polly, 32 gostam da Susi e Polly e 15 gostam das três. Responda:
a) Qual o número de meninas entrevistadas?
b) Quantas gostam de pelo menos duas bonecas ?
c) Quantas gostam de somente duas bonecas ?
d) Quantas gostam de um só tipo de boneca ?
2)Dados os conjuntos, descritos em linguagem cotidiana, encontre seus elementos e traduza para a linguagem matemática:
a)O conjunto A é formado por números naturais maiores que 2 e menores ou iguais a 15.
b) O conjunto B é formado por números naturais menores ou iguais a 12.
c) O conjunto C é formado por números inteiros maiores ou iguais a -5 e menores que 3.
d) O conjunto D é formado por números inteiros maiores ou iguais a -6 .
e) O conjunto E é formado por números naturais que são divisíveis por 3 .
f) O conjunto F é formado por números inteiros que elevado ao quadrado são menores que 20 .
3) Dê o conjunto verdade das equações, no campo dos números inteiros.
a) 2x2 – 50 = 0
b) 4x2 – 36 = 0
c) x2 + x (x-6) = 0
d) x (x+3) = 5x
e) x (x-3) – 2 (x-3) = 6
f) (x + 5)2 = 25
g) (x - 2)2 = 25
e) (x - 2)2 = 4 – 9x
f) (x+1) (x-3) = -3
...esta atividade deverá ser feita em dupla e entregue no dia da Avaliação...
1) A Ri Happy, Brinquedos, realizou uma pesquisa com bonecas e obteve as seguintes respostas: 92 meninas gostam da Barbie, 84 gostam da Susi, 76 gostam da Polly, 36 gostam da Barbie e Susi, 45 gostam da Barbie e Polly, 32 gostam da Susi e Polly e 15 gostam das três. Responda:
a) Qual o número de meninas entrevistadas?
b) Quantas gostam de pelo menos duas bonecas ?
c) Quantas gostam de somente duas bonecas ?
d) Quantas gostam de um só tipo de boneca ?
2)Dados os conjuntos, descritos em linguagem cotidiana, encontre seus elementos e traduza para a linguagem matemática:
a)O conjunto A é formado por números naturais maiores que 2 e menores ou iguais a 15.
b) O conjunto B é formado por números naturais menores ou iguais a 12.
c) O conjunto C é formado por números inteiros maiores ou iguais a -5 e menores que 3.
d) O conjunto D é formado por números inteiros maiores ou iguais a -6 .
e) O conjunto E é formado por números naturais que são divisíveis por 3 .
f) O conjunto F é formado por números inteiros que elevado ao quadrado são menores que 20 .
3) Dê o conjunto verdade das equações, no campo dos números inteiros.
a) 2x2 – 50 = 0
b) 4x2 – 36 = 0
c) x2 + x (x-6) = 0
d) x (x+3) = 5x
e) x (x-3) – 2 (x-3) = 6
f) (x + 5)2 = 25
g) (x - 2)2 = 25
e) (x - 2)2 = 4 – 9x
f) (x+1) (x-3) = -3
quinta-feira, 5 de março de 2009
ATIVIDADE PARA 1ºs F, G, H e I
...ATIVIDADE DE MATEMÁTICA
...apresentar no caderno, dia 09/03
1) Em uma escola de música há 430 alunos, 250 deles estudam piano, 110 estudam violino e 42 deles estudam os dois instrumentos. Pergunta-se:
a) Quantos alunos estudam apenas piano?
b) Quantos alunos estudam apenas violino ?
c) Quantos alunos estudam piano ou violino?
d) Quantos alunos estudam piano e violino?
e) Quantos alunos não estudam nenhum dos dois instrumentos?
2) Uma cidade com 10000 habitantes tem dois clubes de futebol: A e B. Numa pesquisa feita com seus habitantes, constatou-se que 1200 pessoas não apreciam nenhum dos dois clubes, 1300 apreciam os dois e 4500 apreciam o clube A. responda;
a) Quantas pessoas apreciam apenas o clube A?
b) Quantas apreciam o clube B?
c) Quantas apreciam apenas o clube B?
3) Um cinema realizou uma pesquisa sobre gênero de filmes. As respostas foram: 85 pessoas assistem filmes de ação, 80 assistem filmes de aventuras, 90 assistem filmes de terror, 34 assistem ação e aventura, 42 assistem aventura e terror, 38 assistem ação e terror e 12 assistem os três. Responda:
a) Qual o número de pessoas entrevistadas?
b) Quantos assistem pelos menos um
gênero de filme?
c) Quantos assistem somente a dois
gêneros ?
d) Quantos assistem ação ou aventura ?
e) Quantos assistem só um gênero?
4) Durante o Salão da Motocicleta, a Revista Duas Rodas pesquisou sobre a preferência de motocicletas e obteve as seguintes respostas: 864 adoram motos Harley Davidson, 126 gostam das motos BMW, 74 gostam da Triumph, 42 opinaram por Harley e Triumph, 38 opinaram por BMW e Triumph, 62 opinaram por Harley e BMW e 18 opinaram pelas três marcas. Responda:
a) Quantos motociclistas foram entrevistados?
b) Quantos motociclistas opinaram por BMW e Harley?
c) Quantos motociclistas só adoram as Harley?
d) Quantos motociclistas não adoram as Harley?
e) Quantos motociclistas adoram as Harley mas não gostam das Triumph?
...apresentar no caderno, dia 09/03
1) Em uma escola de música há 430 alunos, 250 deles estudam piano, 110 estudam violino e 42 deles estudam os dois instrumentos. Pergunta-se:
a) Quantos alunos estudam apenas piano?
b) Quantos alunos estudam apenas violino ?
c) Quantos alunos estudam piano ou violino?
d) Quantos alunos estudam piano e violino?
e) Quantos alunos não estudam nenhum dos dois instrumentos?
2) Uma cidade com 10000 habitantes tem dois clubes de futebol: A e B. Numa pesquisa feita com seus habitantes, constatou-se que 1200 pessoas não apreciam nenhum dos dois clubes, 1300 apreciam os dois e 4500 apreciam o clube A. responda;
a) Quantas pessoas apreciam apenas o clube A?
b) Quantas apreciam o clube B?
c) Quantas apreciam apenas o clube B?
3) Um cinema realizou uma pesquisa sobre gênero de filmes. As respostas foram: 85 pessoas assistem filmes de ação, 80 assistem filmes de aventuras, 90 assistem filmes de terror, 34 assistem ação e aventura, 42 assistem aventura e terror, 38 assistem ação e terror e 12 assistem os três. Responda:
a) Qual o número de pessoas entrevistadas?
b) Quantos assistem pelos menos um
gênero de filme?
c) Quantos assistem somente a dois
gêneros ?
d) Quantos assistem ação ou aventura ?
e) Quantos assistem só um gênero?
4) Durante o Salão da Motocicleta, a Revista Duas Rodas pesquisou sobre a preferência de motocicletas e obteve as seguintes respostas: 864 adoram motos Harley Davidson, 126 gostam das motos BMW, 74 gostam da Triumph, 42 opinaram por Harley e Triumph, 38 opinaram por BMW e Triumph, 62 opinaram por Harley e BMW e 18 opinaram pelas três marcas. Responda:
a) Quantos motociclistas foram entrevistados?
b) Quantos motociclistas opinaram por BMW e Harley?
c) Quantos motociclistas só adoram as Harley?
d) Quantos motociclistas não adoram as Harley?
e) Quantos motociclistas adoram as Harley mas não gostam das Triumph?
quarta-feira, 4 de março de 2009
Conjunto dos Números Reais...1ºs F, G, H e I
...A história nos mostra que desde muito tempo o homem sempre teve a preocupação em contar objetos e ter registros numéricos. Seja através de pedras, ossos, desenhos, dos dedos ou outra forma qualquer, em que procurava abstrair a natureza por meio de processos de determinação de quantidades.
...E essa procura pela abstração da natureza foi fundamental para a evolução, não só, mas também, dos conjuntos numéricos. E é sobre eles que passamos a dissertar.
...Conjunto dos Números Naturais
Como decorrência da necessidade de contar objetos surgiram os números naturais que é simbolizado pela letra N e é formado pelos números 0, 1, 2, 3, …, ou seja:
N = {0; 1; 2; 3; …}
Um subconjunto de N muito usado é o conjunto dos números naturais menos o zero, ou seja N - {0} = conjuntos dos números naturais positivos, que é representado por N*.
Observações:
Em N são definidas apenas as operações de adição e multiplicação;
Isto é fato pois se a e b são dois números naturais então a + b e a.b são também números naturais. Esta propriedade é conhecida como fechamento da operação;
Valem as propriedades associativa, comutativa e elemento neutro (0 para a adição e 1 para a multiplicação) para as duas operações e a distributiva para a multiplicação em N.
Como consequência, surge um novo conjunto para atender essa necessidade.
...Conjunto dos Números Inteiros
Chama-se o conjunto dos números inteiros, representado pela letra Z, o seguinte conjunto:
Z = {…, -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …}
No conjunto Z distinguimos alguns subconjuntos notáveis que possuem notação própria para representá-los:
Conjunto dos inteiros não negativos: Z+ = {0; 1; 2; 3; …};
Conjunto dos inteiros não positivos: Z- = {…; -3; -2; -1; 0};
Conjunto dos inteiros não nulos: Z* = {…, -3; -2; -1; 1; 2; 3; …};
Conjunto dos inteiros positivos Z+* = {1; 2; 3; …};
Conjunto dos inteiros negativos Z-* = {…; -3; -2; -1}.
Note que Z+ = N e, por essa razão, N é um subconjunto de Z.
Observações:
No conjunto Z, além das operações e suas propriedades mencionadas para N, vale a propriedade simétrico ou oposto para a adição. Isto é: para todo a em Z, existe -a em Z, de tal forma que a + (-a) = 0;
Devido a este fato podemos definir a operação de subtração em Z: a - b = a + (-b) para todo a e b pertencente a Z;
Note que a noção de inverso não existe em Z. Em outras palavras, dado q pertencente a Z, diferente de 1 e de -1, 1/q não existe em Z;
...Os números inteiros podem ser representados por pontos de uma reta orientada ou eixo, onde temos um ponto de origem, o zero, e à sua esquerda associam-se ordenadamente os inteiros negativos e à sua direita os inteiros positivos, separados por intervalos de mesmo comprimento;
...Em Z podemos introduzir o conceito de módulo ou valor absoluto: |x| = x se x >= 0 e |x| = -x se x < 0, para todo x pertencente a Z. Como decorrência da definição temos que |x| >= 0 para qualquer número inteiro.
...Conjunto dos Números Racionais
O conjunto dos números racionais, simbolizado pela letra Q, é o conjunto dos números que podem ser escritos na forma de uma fração p/q, com p e q inteiros quaisquer e q diferente de zero:
...Como todo número inteiro pode ser escrito na forma p/1, então Z é um subconjunto de Q. Valem também para o conjuntos dos números racionais as notações Q* (conjunto dos números racionais não nulos), Q+ (conjunto dos números racionais não negativos) e Q- (conjunto dos números racionais não positivos).
Observações:
São válidas todas as propriedades vistas para o conjunto dos números inteiros;
Além disso é válida a propriedade simétrico ou inverso para a multiplicação. Isto é, para todo a/b pertencente a Q,
...a/b diferente de zero,
...existe b/a em Q tal que (a/b)(b/a) = 1;
Decorre da propriedade acima que é possível definir a operação de divisão em Q* da seguinte forma (a/b):(c/d) = (a/b).(d/c), para quaisquer a, b, c e d pertencente a Q;
Todo número racional p/q pode ser escrito como um número decimal exato (ex: 1/2 = 0,5) ou como uma dízima periódica (1/3 = 0,333…).
Números Irracionais
Como o próprio nome sugere um número irracional é todo número não racional, isto é, todo número que não pode ser escrito na forma de uma fração p/q, onde p e q são inteiros e q diferente de zero.
São exemplos de números irracionais a raiz quadrada de 2 e a raiz cúbica de 3, ou seja, nenhum deles pertence a Q.
A título de ilustração vamos demonstrar, pela teoria do absurdo, que a raiz quadrada de 2 não pertence a Q.
Suponhamos que raiz quadrada de 2 é racional e admitamos que possa ser escrita como uma fração irredutível a/b, b diferente de zero:
Da expressão acima concluímos que a ao quadrado é par e que, portanto, a é par. Logo a = 2m, com m inteiro. Substituindo o valor de a na expressão anterior vem que:
Da mesma forma obtemos que b também é par, o que é um absurdo pois a/b é irredutível, ou seja, a e b são primos entre si, e portanto têm como divisor comum apenas o número 1, isto é, mdc(a,b) = 1.
Caso deseje obter maiores informações sobre as operações com números irracionais consulte os artigos publicados no blog na categoria Matemática.
...Conjunto dos Números Reais
O conjunto dos números reais, simbolizado pela letra R, é o formado por todos os números racionais e por todos os números irracionais:
R = {x | x é racional ou x é irracional}
Desse modo todos os conjuntos numéricos (N, Z e Q), bem como o conjunto dos números irracionais são subconjuntos de R.
Da mesma forma destacamos três outros subconjuntos de R: R* = conjunto dos reais não nulos, R+ = conjunto dos reais não negativos e R- = conjunto dos reais não positivos.
Referências:
Fundamentos de Matemática Elementar, Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce & Carlos Murakami, São Paulo, Atual Editora Ltda, edição 1977;
Matemática para o Ensino Médio: Volume Único, Manoel Jairo Bezerra, São Paulo, Editora Scipione, 2001.
...E essa procura pela abstração da natureza foi fundamental para a evolução, não só, mas também, dos conjuntos numéricos. E é sobre eles que passamos a dissertar.
...Conjunto dos Números Naturais
Como decorrência da necessidade de contar objetos surgiram os números naturais que é simbolizado pela letra N e é formado pelos números 0, 1, 2, 3, …, ou seja:
N = {0; 1; 2; 3; …}
Um subconjunto de N muito usado é o conjunto dos números naturais menos o zero, ou seja N - {0} = conjuntos dos números naturais positivos, que é representado por N*.
Observações:
Em N são definidas apenas as operações de adição e multiplicação;
Isto é fato pois se a e b são dois números naturais então a + b e a.b são também números naturais. Esta propriedade é conhecida como fechamento da operação;
Valem as propriedades associativa, comutativa e elemento neutro (0 para a adição e 1 para a multiplicação) para as duas operações e a distributiva para a multiplicação em N.
Como consequência, surge um novo conjunto para atender essa necessidade.
...Conjunto dos Números Inteiros
Chama-se o conjunto dos números inteiros, representado pela letra Z, o seguinte conjunto:
Z = {…, -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …}
No conjunto Z distinguimos alguns subconjuntos notáveis que possuem notação própria para representá-los:
Conjunto dos inteiros não negativos: Z+ = {0; 1; 2; 3; …};
Conjunto dos inteiros não positivos: Z- = {…; -3; -2; -1; 0};
Conjunto dos inteiros não nulos: Z* = {…, -3; -2; -1; 1; 2; 3; …};
Conjunto dos inteiros positivos Z+* = {1; 2; 3; …};
Conjunto dos inteiros negativos Z-* = {…; -3; -2; -1}.
Note que Z+ = N e, por essa razão, N é um subconjunto de Z.
Observações:
No conjunto Z, além das operações e suas propriedades mencionadas para N, vale a propriedade simétrico ou oposto para a adição. Isto é: para todo a em Z, existe -a em Z, de tal forma que a + (-a) = 0;
Devido a este fato podemos definir a operação de subtração em Z: a - b = a + (-b) para todo a e b pertencente a Z;
Note que a noção de inverso não existe em Z. Em outras palavras, dado q pertencente a Z, diferente de 1 e de -1, 1/q não existe em Z;
...Os números inteiros podem ser representados por pontos de uma reta orientada ou eixo, onde temos um ponto de origem, o zero, e à sua esquerda associam-se ordenadamente os inteiros negativos e à sua direita os inteiros positivos, separados por intervalos de mesmo comprimento;
...Em Z podemos introduzir o conceito de módulo ou valor absoluto: |x| = x se x >= 0 e |x| = -x se x < 0, para todo x pertencente a Z. Como decorrência da definição temos que |x| >= 0 para qualquer número inteiro.
...Conjunto dos Números Racionais
O conjunto dos números racionais, simbolizado pela letra Q, é o conjunto dos números que podem ser escritos na forma de uma fração p/q, com p e q inteiros quaisquer e q diferente de zero:
...Como todo número inteiro pode ser escrito na forma p/1, então Z é um subconjunto de Q. Valem também para o conjuntos dos números racionais as notações Q* (conjunto dos números racionais não nulos), Q+ (conjunto dos números racionais não negativos) e Q- (conjunto dos números racionais não positivos).
Observações:
São válidas todas as propriedades vistas para o conjunto dos números inteiros;
Além disso é válida a propriedade simétrico ou inverso para a multiplicação. Isto é, para todo a/b pertencente a Q,
...a/b diferente de zero,
...existe b/a em Q tal que (a/b)(b/a) = 1;
Decorre da propriedade acima que é possível definir a operação de divisão em Q* da seguinte forma (a/b):(c/d) = (a/b).(d/c), para quaisquer a, b, c e d pertencente a Q;
Todo número racional p/q pode ser escrito como um número decimal exato (ex: 1/2 = 0,5) ou como uma dízima periódica (1/3 = 0,333…).
Números Irracionais
Como o próprio nome sugere um número irracional é todo número não racional, isto é, todo número que não pode ser escrito na forma de uma fração p/q, onde p e q são inteiros e q diferente de zero.
São exemplos de números irracionais a raiz quadrada de 2 e a raiz cúbica de 3, ou seja, nenhum deles pertence a Q.
A título de ilustração vamos demonstrar, pela teoria do absurdo, que a raiz quadrada de 2 não pertence a Q.
Suponhamos que raiz quadrada de 2 é racional e admitamos que possa ser escrita como uma fração irredutível a/b, b diferente de zero:
Da expressão acima concluímos que a ao quadrado é par e que, portanto, a é par. Logo a = 2m, com m inteiro. Substituindo o valor de a na expressão anterior vem que:
Da mesma forma obtemos que b também é par, o que é um absurdo pois a/b é irredutível, ou seja, a e b são primos entre si, e portanto têm como divisor comum apenas o número 1, isto é, mdc(a,b) = 1.
Caso deseje obter maiores informações sobre as operações com números irracionais consulte os artigos publicados no blog na categoria Matemática.
...Conjunto dos Números Reais
O conjunto dos números reais, simbolizado pela letra R, é o formado por todos os números racionais e por todos os números irracionais:
R = {x | x é racional ou x é irracional}
Desse modo todos os conjuntos numéricos (N, Z e Q), bem como o conjunto dos números irracionais são subconjuntos de R.
Da mesma forma destacamos três outros subconjuntos de R: R* = conjunto dos reais não nulos, R+ = conjunto dos reais não negativos e R- = conjunto dos reais não positivos.
Referências:
Fundamentos de Matemática Elementar, Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce & Carlos Murakami, São Paulo, Atual Editora Ltda, edição 1977;
Matemática para o Ensino Médio: Volume Único, Manoel Jairo Bezerra, São Paulo, Editora Scipione, 2001.
quinta-feira, 19 de fevereiro de 2009
Conjuntos...1ºs
... Conjuntos
A noção de conjunto em Matemática é praticamente a mesma utilizada na linguagem cotidiana: agrupamento, classe, coleção. Por exemplo:
Conjunto das letras maiúsculas do alfabeto;
Conjunto dos números inteiros pares;
Conjunto dos dias da semana;
Conjunto dos Presidentes da República do Brasil.
b) Elemento...Cada membro ou objeto que entra na formação do conjunto. Assim:
V, I, C, H, E são elementos do primeiro conjunto acima;
2, 4, 6 são elementos do segundo;
Sábado, Domingo do terceiro; e
FHC, Lula do último.
c) Pertinência entre elemento e conjunto...Por exemplo, V é um elemento do conjunto das letras maiúsculas do alfabeto, ou seja, V pertence àquele conjunto. Enquanto que v não pertence.
Como se vê são conceitos intuitivos e que se supõe sejam entendidos (evidentes) por todos.
...Notação
Conjunto: Representado, de forma geral, por uma letra maiúscula A, B, C, …
Elemento: Por uma letra minúscula a, b, c, x, y, z, …
Pertinência: Sejam A um conjunto e x um elemento. Se x é um elemento de A (ou x pertence a A) indicamos por:
Caso contrário, ou seja, se x não é um elemento de A (ou x não pertence a A) escrevemos:
...Representações de Conjuntos
a) Extensão ou Enumeração
Quando o conjunto é representado por uma listagem ou enumeração de seus elementos. Devem ser escritos entre chaves e separados por vírgula ou ponto-e-vírgula.
Exemplos:
Conjunto dos nomes de meus filhos: {Larissa, Júnior, Thiago, Juliana, Fabiana};
Conjunto dos meses com menos de 31 dias: {fevereiro, abril, junho, setembro, novembro};
Conjunto dos números pares inteiros maiores do que 8 e menores do que 22: {10; 12; 14; 16; 18; 20}.
Observações: Na representação por extensão cada elemento deve ser escrito apenas uma vez;
É uma boa prática adotar a separação dos elementos em conjuntos numéricos como sendo o ponto-e-vírgula, para evitar confusões com as casas decimais: {2;3;4} e {2,3;4};
Esta representação pode, também, ser adotada para conjuntos infinitos em que se evidencia a lei de formação de seus elementos e colocando-se reticências no final: {2, 4, 6, 8, 10, …};
Representação semelhante pode ser adotada para conjuntos finitos com um grande número de elementos: {0, 1, 2, 3, …, 100}.
b) Propriedade dos Elementos...Representação em que o conjunto é descrito por uma propriedade característica comum a todos os seus elementos. Simbolicamente:
A = {x | x tem a Propriedade P}
e lê-se: A é o conjunto dos elementos x tal que (|) x tem a propriedade P.
Exemplos:
A = {x | x é um time de futebol do Campeonato Brasileiro de 2006};
B = {x | x é um número inteiro par e 8 < x < 22}. Último exemplo do item a) acima;
C = {x | x é um deputado federal eleito em 2006}.
c) Diagrama de Euler-Venn
Um conjunto pode ser representado por meio de uma linha fechada e não entrelaçada, como mostrado na figura abaixo. Os pontos dentro da linha fechada indicam os elementos do conjunto.
...Conjunto Unitário e Conjunto Vazio
Embora o conceito intuitivo de conjunto nos remeta à idéia de pluralidade (coleção de objetos), devemos considerar a existência de conjunto com apenas um elemento, chamados de conjuntos unitários, e o conjunto sem qualquer elemento, chamado de conjunto vazio (Ø).
O conjunto vazio é obtido quando descrevemos um conjunto onde a propriedade P é logicamente falsa.
Exemplos de Conjuntos Unitários:
Conjunto dos meses do ano com menos de 30 dias: {fevereiro};
Conjunto dos números inteiros maiores do que 10 e menores do que 12: {11};
Conjunto das vogais da palavra blog: {o}.
Exemplos de Conjuntos Vazios:
{x | x > 0 e x < 0} = Ø;
Conjunto dos meses com mais de 31 dias;
{x | x2 = -1 e x é um número real} = Ø.
...Conjunto Universo
É o conjunto ao qual pertencem todos os elementos envolvidos em um determinado assunto ou estudo, e é simbolizado pela letra U.
Assim, se procuramos determinar as soluções reais de uma equação do segundo grau, nosso conjunto Universo U é R (conjunto dos números reais); se estamos interessados em determinar os deputados federais envolvidos com o mensalão, nesse caso o universo U tem como elementos todos os deputados federais da atual legislatura.
Portanto, é essencial, que ao descrever um conjunto através de uma propriedade P, fixemos o conjunto universo em que estamos trabalhando, escrevendo:
...Igualdade de Conjuntos
Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertence a B e, reciprocamente, todo elemento de B pertence a A:
Observações:
A título de ilustração: O A invertido na expressão acima significa “para todo”;
{a, b, c, d} = {d, b, a, c}. O que demonstra que a noção de ordem não interfere na igualdade de conjuntos;
É evidente que para A ser diferente de B é suficiente que um elemento de A não pertença a B ou vice-versa: A = {a, b, c} é diferente de B = {a, b, c, d}.
...Subconjunto
Um conjunto A é um subconjunto de (está contido em) B se, e sómente se, todo elemento x pertencente a A também pertence a B:
onde a notação
...significa “A é subconjunto de B” ou “A está contido em B” ou “A é parte de B”. A leitura da notação no sentido inverso é feita como “B contém A”. Observe que a abertura do sinal de inclusão fica sempre direcionado para o conjunto “maior”. Na forma de diagrama é representado como:
Exemplos:
{1; 2; 3} C {1; 2; 3; 4; 5; 6}
Ø C {a, b};
{a, b} C {a, b};
{a, b, c} ¢ {a, c, d, e}, onde ¢ significa “não está contido”, uma vez que o elemento b do primeiro conjunto não pertence ao segundo.
Observe que na definição de igualdade de conjuntos está explícito que todo elemento de A é elemento de B e vice-versa, ou seja, que A está contido em B e B está contido em A. Assim, para provarmos que dois conjuntos são iguais devemos provar que:
...Propriedades da Inclusão
Sejam D, E e F três conjuntos quaisquer. Então valem as seguintes propriedades:
Ø C D: O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto;
D C D: Todo conjunto é subconjunto de si próprio (propriedade Reflexiva);
D C E e E C D => D = E: veja acima (propriedade Anti-Simétrica);
D C E e E C F => D C F: Se um conjunto é subconjunto de um outro e este é subconjunto de um terceiro, então o primeiro é subconjunto do terceiro (propriedade Transitiva).
Com exceção da primeira propriedade, a demonstração das demais é bastante intuitiva e imediata. Vamos, portanto, provar a primeira:
Partimos da tese de que se o conjunto vazio não é um subconjunto de D, então é necessário que pelo menos um elemento desse conjunto não esteja contido no conjunto D. Como o conjunto vazio não possui nenhum elemento, a sentença Ø ¢ D é sempre falsa. Logo, o conjunto vazio está contido em D é sempre verdadeira.
...Conjunto das Partes
Chama-se Conjunto das Partes de um conjunto E - P(E) - o conjunto formado por todos os subconjuntos de E:
Exemplos:
Se A = {a, b, c}, então P(A) = {Ø, {a}, {b}, {c}. {a.b}, {a.c}. {b,c}, {a,b,c}}
Se B = {a, b}, então P(B) = {Ø, {a}, {b}, {a,b}};
Se C = {a}, então P(C) = {Ø, {a}}.
Observações: apesar de colocado na própria definição, os elementos de P(E) são conjuntos;
Assim, deve-se ter atenção quanto ao emprego dos símbolos pertence (não pertence) e contido (não contido);
No primeiro exemplo acima: {a} pertence a P(A) e {{a}} é um subconjunto de P(A);
Se definirmos n(E) como sendo o número de elementos do conjunto E, então n(P(E)) = 2n(E). A propriedade é válida para conjuntos finitos;
Veja nos exemplos: n(A) = 3 e n(P(A)) = 8 = 23, n(B) = 2 e n(P(B)) = 4 = 22 e n(C) = 1 e n(P(C)) = 2 = 21.
A demonstração do item 5. é feita pelo Princípio da Indução Finita e será feita oportunamente.
...Referências
Fundamentos de Matemática Elementar, Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce & Carlos Murakami, São Paulo, Atual Editora Ltda, edição 1977;
Matemática para o Ensino Médio: Volume Único, Manoel Jairo Bezerra, São Paulo, Editora Scipione, 2001.
http://www.nghorta.com/2006/11/02/conjuntos-nocoes-basicas-parte-i/
A noção de conjunto em Matemática é praticamente a mesma utilizada na linguagem cotidiana: agrupamento, classe, coleção. Por exemplo:
Conjunto das letras maiúsculas do alfabeto;
Conjunto dos números inteiros pares;
Conjunto dos dias da semana;
Conjunto dos Presidentes da República do Brasil.
b) Elemento...Cada membro ou objeto que entra na formação do conjunto. Assim:
V, I, C, H, E são elementos do primeiro conjunto acima;
2, 4, 6 são elementos do segundo;
Sábado, Domingo do terceiro; e
FHC, Lula do último.
c) Pertinência entre elemento e conjunto...Por exemplo, V é um elemento do conjunto das letras maiúsculas do alfabeto, ou seja, V pertence àquele conjunto. Enquanto que v não pertence.
Como se vê são conceitos intuitivos e que se supõe sejam entendidos (evidentes) por todos.
...Notação
Conjunto: Representado, de forma geral, por uma letra maiúscula A, B, C, …
Elemento: Por uma letra minúscula a, b, c, x, y, z, …
Pertinência: Sejam A um conjunto e x um elemento. Se x é um elemento de A (ou x pertence a A) indicamos por:
Caso contrário, ou seja, se x não é um elemento de A (ou x não pertence a A) escrevemos:
...Representações de Conjuntos
a) Extensão ou Enumeração
Quando o conjunto é representado por uma listagem ou enumeração de seus elementos. Devem ser escritos entre chaves e separados por vírgula ou ponto-e-vírgula.
Exemplos:
Conjunto dos nomes de meus filhos: {Larissa, Júnior, Thiago, Juliana, Fabiana};
Conjunto dos meses com menos de 31 dias: {fevereiro, abril, junho, setembro, novembro};
Conjunto dos números pares inteiros maiores do que 8 e menores do que 22: {10; 12; 14; 16; 18; 20}.
Observações: Na representação por extensão cada elemento deve ser escrito apenas uma vez;
É uma boa prática adotar a separação dos elementos em conjuntos numéricos como sendo o ponto-e-vírgula, para evitar confusões com as casas decimais: {2;3;4} e {2,3;4};
Esta representação pode, também, ser adotada para conjuntos infinitos em que se evidencia a lei de formação de seus elementos e colocando-se reticências no final: {2, 4, 6, 8, 10, …};
Representação semelhante pode ser adotada para conjuntos finitos com um grande número de elementos: {0, 1, 2, 3, …, 100}.
b) Propriedade dos Elementos...Representação em que o conjunto é descrito por uma propriedade característica comum a todos os seus elementos. Simbolicamente:
A = {x | x tem a Propriedade P}
e lê-se: A é o conjunto dos elementos x tal que (|) x tem a propriedade P.
Exemplos:
A = {x | x é um time de futebol do Campeonato Brasileiro de 2006};
B = {x | x é um número inteiro par e 8 < x < 22}. Último exemplo do item a) acima;
C = {x | x é um deputado federal eleito em 2006}.
c) Diagrama de Euler-Venn
Um conjunto pode ser representado por meio de uma linha fechada e não entrelaçada, como mostrado na figura abaixo. Os pontos dentro da linha fechada indicam os elementos do conjunto.
...Conjunto Unitário e Conjunto Vazio
Embora o conceito intuitivo de conjunto nos remeta à idéia de pluralidade (coleção de objetos), devemos considerar a existência de conjunto com apenas um elemento, chamados de conjuntos unitários, e o conjunto sem qualquer elemento, chamado de conjunto vazio (Ø).
O conjunto vazio é obtido quando descrevemos um conjunto onde a propriedade P é logicamente falsa.
Exemplos de Conjuntos Unitários:
Conjunto dos meses do ano com menos de 30 dias: {fevereiro};
Conjunto dos números inteiros maiores do que 10 e menores do que 12: {11};
Conjunto das vogais da palavra blog: {o}.
Exemplos de Conjuntos Vazios:
{x | x > 0 e x < 0} = Ø;
Conjunto dos meses com mais de 31 dias;
{x | x2 = -1 e x é um número real} = Ø.
...Conjunto Universo
É o conjunto ao qual pertencem todos os elementos envolvidos em um determinado assunto ou estudo, e é simbolizado pela letra U.
Assim, se procuramos determinar as soluções reais de uma equação do segundo grau, nosso conjunto Universo U é R (conjunto dos números reais); se estamos interessados em determinar os deputados federais envolvidos com o mensalão, nesse caso o universo U tem como elementos todos os deputados federais da atual legislatura.
Portanto, é essencial, que ao descrever um conjunto através de uma propriedade P, fixemos o conjunto universo em que estamos trabalhando, escrevendo:
...Igualdade de Conjuntos
Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertence a B e, reciprocamente, todo elemento de B pertence a A:
Observações:
A título de ilustração: O A invertido na expressão acima significa “para todo”;
{a, b, c, d} = {d, b, a, c}. O que demonstra que a noção de ordem não interfere na igualdade de conjuntos;
É evidente que para A ser diferente de B é suficiente que um elemento de A não pertença a B ou vice-versa: A = {a, b, c} é diferente de B = {a, b, c, d}.
...Subconjunto
Um conjunto A é um subconjunto de (está contido em) B se, e sómente se, todo elemento x pertencente a A também pertence a B:
onde a notação
...significa “A é subconjunto de B” ou “A está contido em B” ou “A é parte de B”. A leitura da notação no sentido inverso é feita como “B contém A”. Observe que a abertura do sinal de inclusão fica sempre direcionado para o conjunto “maior”. Na forma de diagrama é representado como:
Exemplos:
{1; 2; 3} C {1; 2; 3; 4; 5; 6}
Ø C {a, b};
{a, b} C {a, b};
{a, b, c} ¢ {a, c, d, e}, onde ¢ significa “não está contido”, uma vez que o elemento b do primeiro conjunto não pertence ao segundo.
Observe que na definição de igualdade de conjuntos está explícito que todo elemento de A é elemento de B e vice-versa, ou seja, que A está contido em B e B está contido em A. Assim, para provarmos que dois conjuntos são iguais devemos provar que:
...Propriedades da Inclusão
Sejam D, E e F três conjuntos quaisquer. Então valem as seguintes propriedades:
Ø C D: O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto;
D C D: Todo conjunto é subconjunto de si próprio (propriedade Reflexiva);
D C E e E C D => D = E: veja acima (propriedade Anti-Simétrica);
D C E e E C F => D C F: Se um conjunto é subconjunto de um outro e este é subconjunto de um terceiro, então o primeiro é subconjunto do terceiro (propriedade Transitiva).
Com exceção da primeira propriedade, a demonstração das demais é bastante intuitiva e imediata. Vamos, portanto, provar a primeira:
Partimos da tese de que se o conjunto vazio não é um subconjunto de D, então é necessário que pelo menos um elemento desse conjunto não esteja contido no conjunto D. Como o conjunto vazio não possui nenhum elemento, a sentença Ø ¢ D é sempre falsa. Logo, o conjunto vazio está contido em D é sempre verdadeira.
...Conjunto das Partes
Chama-se Conjunto das Partes de um conjunto E - P(E) - o conjunto formado por todos os subconjuntos de E:
Exemplos:
Se A = {a, b, c}, então P(A) = {Ø, {a}, {b}, {c}. {a.b}, {a.c}. {b,c}, {a,b,c}}
Se B = {a, b}, então P(B) = {Ø, {a}, {b}, {a,b}};
Se C = {a}, então P(C) = {Ø, {a}}.
Observações: apesar de colocado na própria definição, os elementos de P(E) são conjuntos;
Assim, deve-se ter atenção quanto ao emprego dos símbolos pertence (não pertence) e contido (não contido);
No primeiro exemplo acima: {a} pertence a P(A) e {{a}} é um subconjunto de P(A);
Se definirmos n(E) como sendo o número de elementos do conjunto E, então n(P(E)) = 2n(E). A propriedade é válida para conjuntos finitos;
Veja nos exemplos: n(A) = 3 e n(P(A)) = 8 = 23, n(B) = 2 e n(P(B)) = 4 = 22 e n(C) = 1 e n(P(C)) = 2 = 21.
A demonstração do item 5. é feita pelo Princípio da Indução Finita e será feita oportunamente.
...Referências
Fundamentos de Matemática Elementar, Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce & Carlos Murakami, São Paulo, Atual Editora Ltda, edição 1977;
Matemática para o Ensino Médio: Volume Único, Manoel Jairo Bezerra, São Paulo, Editora Scipione, 2001.
http://www.nghorta.com/2006/11/02/conjuntos-nocoes-basicas-parte-i/
Conjuntos Numéricos...1ºs
...A história nos mostra que desde muito tempo o homem sempre teve a preocupação em contar objetos e ter registros numéricos. Seja através de pedras, ossos, desenhos, dos dedos ou outra forma qualquer, em que procurava abstrair a natureza por meio de processos de determinação de quantidades.
...E essa procura pela abstração da natureza foi fundamental para a evolução, não só, mas também, dos conjuntos numéricos. E é sobre eles que passamos a dissertar.
...Conjunto dos Números Naturais
Como decorrência da necessidade de contar objetos surgiram os números naturais que é simbolizado pela letra N e é formado pelos números 0, 1, 2, 3, …, ou seja:
N = {0; 1; 2; 3; …}
Um subconjunto de N muito usado é o conjunto dos números naturais menos o zero, ou seja N - {0} = conjuntos dos números naturais positivos, que é representado por N*.
Observações:
Em N são definidas apenas as operações de adição e multiplicação;
Isto é fato pois se a e b são dois números naturais então a + b e a.b são também números naturais. Esta propriedade é conhecida como fechamento da operação;
Valem as propriedades associativa, comutativa e elemento neutro (0 para a adição e 1 para a multiplicação) para as duas operações e a distributiva para a multiplicação em N.
Como consequência, surge um novo conjunto para atender essa necessidade.
...Conjunto dos Números Inteiros
Chama-se o conjunto dos números inteiros, representado pela letra Z, o seguinte conjunto:
Z = {…, -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …}
No conjunto Z distinguimos alguns subconjuntos notáveis que possuem notação própria para representá-los:
Conjunto dos inteiros não negativos: Z+ = {0; 1; 2; 3; …};
Conjunto dos inteiros não positivos: Z- = {…; -3; -2; -1; 0};
Conjunto dos inteiros não nulos: Z* = {…, -3; -2; -1; 1; 2; 3; …};
Conjunto dos inteiros positivos Z+* = {1; 2; 3; …};
Conjunto dos inteiros negativos Z-* = {…; -3; -2; -1}.
Note que Z+ = N e, por essa razão, N é um subconjunto de Z.
Observações:
No conjunto Z, além das operações e suas propriedades mencionadas para N, vale a propriedade simétrico ou oposto para a adição. Isto é: para todo a em Z, existe -a em Z, de tal forma que a + (-a) = 0;
Devido a este fato podemos definir a operação de subtração em Z: a - b = a + (-b) para todo a e b pertencente a Z;
Note que a noção de inverso não existe em Z. Em outras palavras, dado q pertencente a Z, diferente de 1 e de -1, 1/q não existe em Z;
...Os números inteiros podem ser representados por pontos de uma reta orientada ou eixo, onde temos um ponto de origem, o zero, e à sua esquerda associam-se ordenadamente os inteiros negativos e à sua direita os inteiros positivos, separados por intervalos de mesmo comprimento;
...Em Z podemos introduzir o conceito de módulo ou valor absoluto: |x| = x se x >= 0 e |x| = -x se x < 0, para todo x pertencente a Z. Como decorrência da definição temos que |x| >= 0 para qualquer número inteiro.
...Conjunto dos Números Racionais
O conjunto dos números racionais, simbolizado pela letra Q, é o conjunto dos números que podem ser escritos na forma de uma fração p/q, com p e q inteiros quaisquer e q diferente de zero:
...Como todo número inteiro pode ser escrito na forma p/1, então Z é um subconjunto de Q. Valem também para o conjuntos dos números racionais as notações Q* (conjunto dos números racionais não nulos), Q+ (conjunto dos números racionais não negativos) e Q- (conjunto dos números racionais não positivos).
Observações:
São válidas todas as propriedades vistas para o conjunto dos números inteiros;
Além disso é válida a propriedade simétrico ou inverso para a multiplicação. Isto é, para todo a/b pertencente a Q,
...a/b diferente de zero,
...existe b/a em Q tal que (a/b)(b/a) = 1;
Decorre da propriedade acima que é possível definir a operação de divisão em Q* da seguinte forma (a/b):(c/d) = (a/b).(d/c), para quaisquer a, b, c e d pertencente a Q;
Todo número racional p/q pode ser escrito como um número decimal exato (ex: 1/2 = 0,5) ou como uma dízima periódica (1/3 = 0,333…).
Números Irracionais
Como o próprio nome sugere um número irracional é todo número não racional, isto é, todo número que não pode ser escrito na forma de uma fração p/q, onde p e q são inteiros e q diferente de zero.
São exemplos de números irracionais a raiz quadrada de 2 e a raiz cúbica de 3, ou seja, nenhum deles pertence a Q.
A título de ilustração vamos demonstrar, pela teoria do absurdo, que a raiz quadrada de 2 não pertence a Q.
Suponhamos que raiz quadrada de 2 é racional e admitamos que possa ser escrita como uma fração irredutível a/b, b diferente de zero:
Da expressão acima concluímos que a ao quadrado é par e que, portanto, a é par. Logo a = 2m, com m inteiro. Substituindo o valor de a na expressão anterior vem que:
Da mesma forma obtemos que b também é par, o que é um absurdo pois a/b é irredutível, ou seja, a e b são primos entre si, e portanto têm como divisor comum apenas o número 1, isto é, mdc(a,b) = 1.
Caso deseje obter maiores informações sobre as operações com números irracionais consulte os artigos publicados no blog na categoria Matemática.
...Conjunto dos Números Reais
O conjunto dos números reais, simbolizado pela letra R, é o formado por todos os números racionais e por todos os números irracionais:
R = {x | x é racional ou x é irracional}
Desse modo todos os conjuntos numéricos (N, Z e Q), bem como o conjunto dos números irracionais são subconjuntos de R.
Da mesma forma destacamos três outros subconjuntos de R: R* = conjunto dos reais não nulos, R+ = conjunto dos reais não negativos e R- = conjunto dos reais não positivos.
Referências:
Fundamentos de Matemática Elementar, Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce & Carlos Murakami, São Paulo, Atual Editora Ltda, edição 1977;
Matemática para o Ensino Médio: Volume Único, Manoel Jairo Bezerra, São Paulo, Editora Scipione, 2001.
...E essa procura pela abstração da natureza foi fundamental para a evolução, não só, mas também, dos conjuntos numéricos. E é sobre eles que passamos a dissertar.
...Conjunto dos Números Naturais
Como decorrência da necessidade de contar objetos surgiram os números naturais que é simbolizado pela letra N e é formado pelos números 0, 1, 2, 3, …, ou seja:
N = {0; 1; 2; 3; …}
Um subconjunto de N muito usado é o conjunto dos números naturais menos o zero, ou seja N - {0} = conjuntos dos números naturais positivos, que é representado por N*.
Observações:
Em N são definidas apenas as operações de adição e multiplicação;
Isto é fato pois se a e b são dois números naturais então a + b e a.b são também números naturais. Esta propriedade é conhecida como fechamento da operação;
Valem as propriedades associativa, comutativa e elemento neutro (0 para a adição e 1 para a multiplicação) para as duas operações e a distributiva para a multiplicação em N.
Como consequência, surge um novo conjunto para atender essa necessidade.
...Conjunto dos Números Inteiros
Chama-se o conjunto dos números inteiros, representado pela letra Z, o seguinte conjunto:
Z = {…, -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …}
No conjunto Z distinguimos alguns subconjuntos notáveis que possuem notação própria para representá-los:
Conjunto dos inteiros não negativos: Z+ = {0; 1; 2; 3; …};
Conjunto dos inteiros não positivos: Z- = {…; -3; -2; -1; 0};
Conjunto dos inteiros não nulos: Z* = {…, -3; -2; -1; 1; 2; 3; …};
Conjunto dos inteiros positivos Z+* = {1; 2; 3; …};
Conjunto dos inteiros negativos Z-* = {…; -3; -2; -1}.
Note que Z+ = N e, por essa razão, N é um subconjunto de Z.
Observações:
No conjunto Z, além das operações e suas propriedades mencionadas para N, vale a propriedade simétrico ou oposto para a adição. Isto é: para todo a em Z, existe -a em Z, de tal forma que a + (-a) = 0;
Devido a este fato podemos definir a operação de subtração em Z: a - b = a + (-b) para todo a e b pertencente a Z;
Note que a noção de inverso não existe em Z. Em outras palavras, dado q pertencente a Z, diferente de 1 e de -1, 1/q não existe em Z;
...Os números inteiros podem ser representados por pontos de uma reta orientada ou eixo, onde temos um ponto de origem, o zero, e à sua esquerda associam-se ordenadamente os inteiros negativos e à sua direita os inteiros positivos, separados por intervalos de mesmo comprimento;
...Em Z podemos introduzir o conceito de módulo ou valor absoluto: |x| = x se x >= 0 e |x| = -x se x < 0, para todo x pertencente a Z. Como decorrência da definição temos que |x| >= 0 para qualquer número inteiro.
...Conjunto dos Números Racionais
O conjunto dos números racionais, simbolizado pela letra Q, é o conjunto dos números que podem ser escritos na forma de uma fração p/q, com p e q inteiros quaisquer e q diferente de zero:
...Como todo número inteiro pode ser escrito na forma p/1, então Z é um subconjunto de Q. Valem também para o conjuntos dos números racionais as notações Q* (conjunto dos números racionais não nulos), Q+ (conjunto dos números racionais não negativos) e Q- (conjunto dos números racionais não positivos).
Observações:
São válidas todas as propriedades vistas para o conjunto dos números inteiros;
Além disso é válida a propriedade simétrico ou inverso para a multiplicação. Isto é, para todo a/b pertencente a Q,
...a/b diferente de zero,
...existe b/a em Q tal que (a/b)(b/a) = 1;
Decorre da propriedade acima que é possível definir a operação de divisão em Q* da seguinte forma (a/b):(c/d) = (a/b).(d/c), para quaisquer a, b, c e d pertencente a Q;
Todo número racional p/q pode ser escrito como um número decimal exato (ex: 1/2 = 0,5) ou como uma dízima periódica (1/3 = 0,333…).
Números Irracionais
Como o próprio nome sugere um número irracional é todo número não racional, isto é, todo número que não pode ser escrito na forma de uma fração p/q, onde p e q são inteiros e q diferente de zero.
São exemplos de números irracionais a raiz quadrada de 2 e a raiz cúbica de 3, ou seja, nenhum deles pertence a Q.
A título de ilustração vamos demonstrar, pela teoria do absurdo, que a raiz quadrada de 2 não pertence a Q.
Suponhamos que raiz quadrada de 2 é racional e admitamos que possa ser escrita como uma fração irredutível a/b, b diferente de zero:
Da expressão acima concluímos que a ao quadrado é par e que, portanto, a é par. Logo a = 2m, com m inteiro. Substituindo o valor de a na expressão anterior vem que:
Da mesma forma obtemos que b também é par, o que é um absurdo pois a/b é irredutível, ou seja, a e b são primos entre si, e portanto têm como divisor comum apenas o número 1, isto é, mdc(a,b) = 1.
Caso deseje obter maiores informações sobre as operações com números irracionais consulte os artigos publicados no blog na categoria Matemática.
...Conjunto dos Números Reais
O conjunto dos números reais, simbolizado pela letra R, é o formado por todos os números racionais e por todos os números irracionais:
R = {x | x é racional ou x é irracional}
Desse modo todos os conjuntos numéricos (N, Z e Q), bem como o conjunto dos números irracionais são subconjuntos de R.
Da mesma forma destacamos três outros subconjuntos de R: R* = conjunto dos reais não nulos, R+ = conjunto dos reais não negativos e R- = conjunto dos reais não positivos.
Referências:
Fundamentos de Matemática Elementar, Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce & Carlos Murakami, São Paulo, Atual Editora Ltda, edição 1977;
Matemática para o Ensino Médio: Volume Único, Manoel Jairo Bezerra, São Paulo, Editora Scipione, 2001.
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