OS TRINTA E CINCO CAMELOS - Malba Tahan

  OS TRINTA E CINCO CAMELOS - Malba Tahan

     Poucas horas havia que viajávamos sem interrupção, quando nos ocorreu uma aventura digna de registro, na qual meu companheiro Beremiz,  com grande talento pôs em prática as suas habilidades de exímio algebrista.

     Encontramos, perto de um antigo caravançará meio abandonado, três homens que discutiam acaloradamente ao pé de um lote de camelos. Por entre pragas e impropérios, gritavam possessos, furiosos:

— Não pode ser! ...      — Isto é um roubo! ...         — Não aceito!

     O inteligente Beremiz procurou informar-se do que se tratava.
— Somos irmãos - disse o mais velho - e recebemos como herança esses 35 camelos.

    Segundo a vontade expressa de meu pai, devo eu receber a metade, o meu irmão Hamed Namir uma terça parte, e ao Harim, o mais moço, deve tocar apenas a nona parte. Não sabemos, porém, como dividir dessa forma 35 camelos. A cada partilha proposta, segue-se a recusa dos outros dois, pois a metade de 35 é 17 e meio! Como fazer a partilha, se a terça parte e a nona parte de 35 também não são exatas?
— É muito simples — atalhou o “homem que calculava”. — Encarregar-me-ei de fazer com justiça essa divisão, se permitirem que eu junte aos 35 camelos da herança este belo animal, que em boa hora aqui nos trouxe.

    Neste ponto, procurei intervir na questão:

— Não posso consentir em semelhante loucura! Como poderíamos concluir a viagem, se ficássemos sem o nosso camelo?

— Não te preocupes com o resultado, ó “bagdali”! — replicou-me, em voz baixa, Beremiz. — Sei muito bem o que estou fazendo. Cede-me o teu camelo e verás, no fim, a que conclusão quero chegar.

     Tal foi o tom de segurança com que ele falou, que não tive dúvida em entregar-lhe o meu belo jamal, que imediatamente foi reunido aos 35 ali presentes, para serem repartidos pelos três herdeiros.

— Vou, meus amigos — disse ele, dirigindo-se aos três irmãos — fazer a divisão justa e exata dos camelos, que são agora, como vêem, em número de 36.

    E voltando-se para o mais velho dos irmãos, assim falou:

— Deves receber, meu amigo, a metade de 35, isto é, 17 e meio. Receberás a metade de 36, ou seja, 18. Nada tens a reclamar, pois é claro que saíste lucrando com esta divisão.    Dirigindo-se ao segundo herdeiro, continuou:

— E tu, Hamed Namir, devias receber um terço de 35, isto é, 11 e pouco. Vais receber um terço de 36, isto é, 12. Não poderás protestar, pois tu também saíste com visível lucro na transação.

    E disse, por fim, ao mais moço:

— E tu, jovem Harim Namir, segundo a vontade de teu pai, devias receber uma nona parte de 35, isto é, 3 e pouco. Vais receber um terço de 36, isto é, 4. O teu lucro foi igualmente notável. Só tens a agradecer-me pelo resultado.  Numa voz pausada e clara, concluiu:
— Pela vantajosa divisão feita entre os irmãos Namir — partilha em que todos os três saíram lucrando — couberam 18 camelos ao primeiro, 12 ao segundo e 4 ao terceiro, o que dá um total de 34 camelos. Dos 36 camelos sobraram, portanto, dois. Um pertence, como sabem, ao “bagdali” meu amigo e companheiro; outro, por direito, a mim, por ter resolvido a contento de todos o complicado problema da herança.
— Sois inteligente, ó estrangeiro! — confessou, com admiração e respeito, o mais velho dos três irmãos. — Aceitamos a vossa partilha, na certeza de que foi feita com justiça e eqüidade.

    E o astucioso Beremiz — o “homem que calculava” — tomou logo posse de um dos mais belos camelos do grupo, e disse-me, entregando-me pela rédea o animal que me pertencia:
— Poderás agora, meu amigo, continuar a viagem no teu camelo manso e seguro. Tenho outro, especialmente para mim.

   E continuamos a nossa jornada para Bagdá.          ( retirado do livro  “O Homem que Calculava”)

       Júlio César de Mello e Souza (RJ, 6 de maio de 1895 - Pe, 18 de junho de 1974), conhecido como Malba Tahan, foi um  escritor e matemático brasileiro.  Ele produziu 69 livros de contos e 51 de Matemática, vendendo mais de dois milhões de exemplares.   A obra mais famosa ”O Homem que Calculava”  foi publicado pela primeira vez em 1939 e já está na 75ª edição, traduzido para mais de 12 idiomas.                                       

Fonte: http://www.juraemprosaeverso.com.br/Biografias/MalbaTahan.htm                                   

Logaritmos

..História...

No início do século XVII, a ciência na Europa deixava de ser especulativa e se baseava cada vez mais em experiências concretas.
O uso dos logaritmos foi proposto, pelos matemáticos: o escocês John Napier (1550-1617) e o suíço Jost Bürgi (1552-1632) no século XVII.
A criação desse novo conceito matemático estava a serviço de tornar, as complicadas operações de multiplicação e divisão mais práticas.
Eles elaboraram tabelas (tábuas) que tinham por base a relação existente entre progressões aritméticas (PA) e progressões geométricas (PG).
Segundo essas tabelas, a multiplicação e a divisão de quaisquer termos tomados de uma progressão geométrica relacionavam-se, respectivamente, à soma e à diferença dos termos correspondentes da progressão aritmética.

Hoje o logaritmo é utilizado:
-Na Escala Richter, para avaliar a intensidade de terremotos
-Nos Cálculos de pH (potencial de hidrogênio) na Química.
(Para verificar se a solução é ácida, básica ou neutra).
- Na Física, utilizamos logaritmos em acústica para
determinarmos a intensidade (decibel) de um som.
- Nos cálculos de Engenharia, Economia, Astronomia, Música e outros.

Progressão Geométrica

...é uma seqüência de números reais, onde cada termo a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado por uma constante denominada razão.

Exemplos:

(1,2,4,8,16,32, ... ) PG de razão 2

(5,5,5,5,5,5,5, ... ) PG de razão 1

(100,50,25, ... ) PG de razão 1/2

(2,-6,18,-54,162, ...) PG de razão -3

... seu termo geral é dado por...

an = a1 multiplicado por q elevado n-1

Vídeos de aprendizagem do novo telecurso

Video 1



Vídeo 2




... Soma de Progressão Geométrica   / somatematica.com.br

... Conta a lenda que, quando o rei hindu Sheram conheceu o jogo de xadrez, ficou maravilhado com a variedade de jogadas que ele permitia. Ao saber que o inventor desse jogo era um de seus súditos, Sessa, o rei mandou chamá-lo para oferecer uma recompensa. O pedido de Sessa  foi tão simples que irritou o rei Sheram: um grão de trigo para a primeira casa do tabuleiro, dois para a segunda, quatro para a terceira, oito para a quarta, e assim por diante, até completar as 64 casas. Imediatamente o rei mandou seus súditos calcularem o total de grãos de trigo, que ele imaginava ser insuficiente para completar um saco. Quando soube do resultado ficou perplexo:   18 446 744 073 709 551 615 grãos na última casa, que é igual a  2 elevado a 64.

... Termo geral da soma, dos termos, de uma P.G. finita

- Considere a P.G. finita de n termos e razão q.

Para obter a soma (Sn ) dos termos, temos dois casos:

* 1º Caso: *P.G. com q = 1 , isto é ( 3,3,3,3,3,3,3). Nesse caso, a soma de seus n termos pode ser expressa por: Sn = n . a1

então, S7 = 7 . 3 = 21

* 2º Caso: *P.G. com q ≠ 1 onde a soma dos n termos da P.G. são obtido..pelo termo geral: ... Sn = a1.(qn-1)/q – 1

...vídeos de aprendizagem

Vídeo 1




Vídeo 2

Soma de uma Progressão Aritmética

... A soma dos termos de uma Progressão Aritmética é dada pela Adição do primeiro termo com o último termo, multiplicado pelo número de termos e dividido por 2.

video 1




video 2



video 3

Sequências e Progressão Aritmética

... Os vídeos abaixo discorrem sobre o aprendizado de Sequências e Progressão Aritmética


... Vídeos sobre Progressão Aritmética

Aula 33 (1 de 2)



Aula 33 (2 de 2)



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Sucessões e Sequências

... Parte 1




... Parte 2

Trabalho de Matemática 1ºs EFGH ... 2011

... Assista os vídeos e faça um resumo explicativo dos conjuntos relacionados
... A entrega será em folha almaço com letra legível(manuscrito) acompanhado de imagens.

Conjuntos Numéricos - Parte 1

Conjuntos Numéricos - Parte 2

Conjuntos Numéricos - Parte 3

Conjuntos Numéricos (1ºs EFGH..2011)

...A história nos mostra que desde muito tempo o homem sempre teve a preocupação em contar objetos e ter registros numéricos. Seja através de pedras, ossos, desenhos, dos dedos ou outra forma qualquer, em que procurava abstrair a natureza por meio de processos de determinação de quantidades.

...E essa procura pela abstração da natureza foi fundamental para a evolução, não só, mas também, dos conjuntos numéricos. E é sobre eles que passamos a dissertar.

...Conjunto dos Números Naturais

Como decorrência da necessidade de contar objetos surgiram os números naturais que é simbolizado pela letra N e é formado pelos números 0, 1, 2, 3, …, ou seja:

N = {0; 1; 2; 3; …}

Um subconjunto de N muito usado é o conjunto dos números naturais menos o zero, ou seja N - {0} = conjuntos dos números naturais positivos, que é representado por N*.

Observações:

Em N são definidas apenas as operações de adição e multiplicação;

Isto é fato pois se a e b são dois números naturais então a + b e a.b são também números naturais. Esta propriedade é conhecida como fechamento da operação;

Valem as propriedades associativa, comutativa e elemento neutro (0 para a adição e 1 para a multiplicação) para as duas operações e a distributiva para a multiplicação em N.

Como consequência, surge um novo conjunto para atender essa necessidade.

...Conjunto dos Números Inteiros

Chama-se o conjunto dos números inteiros, representado pela letra Z, o seguinte conjunto:

Z = {…, -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …}

No conjunto Z distinguimos alguns subconjuntos notáveis que possuem notação própria para representá-los:

Conjunto dos inteiros não negativos: Z+ = {0; 1; 2; 3; …};

Conjunto dos inteiros não positivos: Z- = {…; -3; -2; -1; 0};

Conjunto dos inteiros não nulos: Z* = {…, -3; -2; -1; 1; 2; 3; …};

Conjunto dos inteiros positivos Z+* = {1; 2; 3; …};

Conjunto dos inteiros negativos Z-* = {…; -3; -2; -1}.

Note que Z+ = N e, por essa razão, N é um subconjunto de Z.

Observações:

No conjunto Z, além das operações e suas propriedades mencionadas para N, vale a propriedade simétrico ou oposto para a adição. Isto é: para todo a em Z, existe -a em Z, de tal forma que a + (-a) = 0;

Devido a este fato podemos definir a operação de subtração em Z: a - b = a + (-b) para todo a e b pertencente a Z;

Note que a noção de inverso não existe em Z. Em outras palavras, dado q pertencente a Z, diferente de 1 e de -1, 1/q não existe em Z;

...Os números inteiros podem ser representados por pontos de uma reta orientada ou eixo, onde temos um ponto de origem, o zero, e à sua esquerda associam-se ordenadamente os inteiros negativos e à sua direita os inteiros positivos, separados por intervalos de mesmo comprimento;

...Em Z podemos introduzir o conceito de módulo ou valor absoluto: |x| = x se x >= 0 e |x| = -x se x < 0, para todo x pertencente a Z. Como decorrência da definição temos que |x| >= 0 para qualquer número inteiro.

...Conjunto dos Números Racionais

O conjunto dos números racionais, simbolizado pela letra Q, é o conjunto dos números que podem ser escritos na forma de uma fração p/q, com p e q inteiros quaisquer e q diferente de zero:

...Como todo número inteiro pode ser escrito na forma p/1, então Z é um subconjunto de Q. Valem também para o conjuntos dos números racionais as notações Q* (conjunto dos números racionais não nulos), Q+ (conjunto dos números racionais não negativos) e Q- (conjunto dos números racionais não positivos).

Observações:

São válidas todas as propriedades vistas para o conjunto dos números inteiros;

Além disso é válida a propriedade simétrico ou inverso para a multiplicação. Isto é, para todo a/b pertencente a Q,

...a/b diferente de zero,

...existe b/a em Q tal que (a/b)(b/a) = 1;

Decorre da propriedade acima que é possível definir a operação de divisão em Q* da seguinte forma (a/b):(c/d) = (a/b).(d/c), para quaisquer a, b, c e d pertencente a Q;

Todo número racional p/q pode ser escrito como um número decimal exato (ex: 1/2 = 0,5) ou como uma dízima periódica (1/3 = 0,333…).

Números Irracionais

Como o próprio nome sugere um número irracional é todo número não racional, isto é, todo número que não pode ser escrito na forma de uma fração p/q, onde p e q são inteiros e q diferente de zero.

São exemplos de números irracionais a raiz quadrada de 2 e a raiz cúbica de 3, ou seja, nenhum deles pertence a Q.

A título de ilustração vamos demonstrar, pela teoria do absurdo, que a raiz quadrada de 2 não pertence a Q.

Suponhamos que raiz quadrada de 2 é racional e admitamos que possa ser escrita como uma fração irredutível a/b, b diferente de zero:

Da expressão acima concluímos que a ao quadrado é par e que, portanto, a é par. Logo a = 2m, com m inteiro. Substituindo o valor de a na expressão anterior vem que:

Da mesma forma obtemos que b também é par, o que é um absurdo pois a/b é irredutível, ou seja, a e b são primos entre si, e portanto têm como divisor comum apenas o número 1, isto é, mdc(a,b) = 1.

Caso deseje obter maiores informações sobre as operações com números irracionais consulte os artigos publicados no blog na categoria Matemática.

...Conjunto dos Números Reais

O conjunto dos números reais, simbolizado pela letra R, é o formado por todos os números racionais e por todos os números irracionais:

R = {x | x é racional ou x é irracional}

Desse modo todos os conjuntos numéricos (N, Z e Q), bem como o conjunto dos números irracionais são subconjuntos de R.

Da mesma forma destacamos três outros subconjuntos de R: R* = conjunto dos reais não nulos, R+ = conjunto dos reais não negativos e R- = conjunto dos reais não positivos.

Referências:

Fundamentos de Matemática Elementar, Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce & Carlos Murakami, São Paulo, Atual Editora Ltda, edição 1977;

Matemática para o Ensino Médio: Volume Único, Manoel Jairo Bezerra, São Paulo, Editora Scipione, 2001.

Exercícios sobre Conjuntos (1ºs EFGH..2011)

1) Utilizando os símbolos  ⊂ ou ⊄, relacione  os  conjuntos:

A={x| x é sigla da região nordeste do Brasil },   
 B = { PE,  AL,  SE,  RN}  e
C ={ ES, BA,  RJ}, responda:

a)   A  ___ B         b)  B  ___  A      c)   A  ___ C     
d)  C  ___  A        e)   C  ___ B         f)   B  ___  C 
2) Avalie o diagrama e escreva:

a) A U B              b) B ∩ A                    

c) A ∩ C              d)  C ∩ A ∩ B

e) C U B U A        f) (B U C) ∩ A

g) (B ∩ A) U C     h)  (A U C) ∩ B

3) A loja de brinquedos, Ri Happy, realizou uma pesquisa com bonecas e obteve as seguintes respostas:  92 meninas gostam da Barbie,  84 gostam da Susi, 76 gostam da Polly, 36 gostam da Barbie e Susi, 45 gostam da Barbie e Polly, 32 gostam da Susi e Polly e 15 gostam das  três.  Responda:

a) Qual o número de meninas entrevistadas?
b) Quantas gostam apenas da boneca Susi?

c) Quantas gostam de pelo menos duas bonecas ?

d) Quantas gostam somente  de duas bonecas ?

e) Quantas gostam de um só tipo de boneca ?

4) A Revista Duas Rodas pesquisou sobre a preferência de motos e obteve as seguintes respostas:  864 pessoas adoram motos  Harley Davidson,  126 gostam das motos BMW, 74 gostam da Triumph,  42 opinaram por Harley e Triumph, 38 opinaram por BMW e Triumph, 62 opinaram por Harley e BMW e 18  opinaram pelas três marcas.    
Responda:
a) Quantos motociclistas gostam apenas de Harley Davidson ?
b) Quantos motociclistas gostam apenas  de BMW ?

c) Quantos motociclistas opinaram somente por uma marca ?   

d) Quantos motociclistas opinaram por pelo menos duas marcas ?
e)Quantos motociclistas foram entrevistados ?

Função do 2º grau

... parte 1



... parte 2




... Máximos e Mínimos em uma Função

...aula 32 (1 de 2)



...aula 32 (2 de 2)