Trigonometria

Trigonometria (do grego trigōnon "triângulo" + metron "medida") é um ramo da matemática que estuda as relações entre os comprimentos de 2 lados de um triângulo retângulo (triângulo onde um dos ângulos mede 90 graus), para diferentes valores de um dos seus ângulos agudos. A abordagem da trigonometria penetra outros campos da geometria, como o estudo de esferas usando a trigonometria esférica.

A trigonometria tem aplicações importantes em vários ramos, tanto como na matemática pura, quanto na matemática aplicada e, consequentemente, nas ciências naturais. A trigonometria é comumente ensinada no Ensino Médio.

Vídeo aula sobre Trigonometria

SIMULADO DE PROBABILIDADE

1) Ao retirar uma carta de um baralho, qual a probabilidade de ocorrer:   

  a) Uma dama de ouros;        b) uma rei;  c) uma carta de paus;  d) uma carta preta

2) No lançamento de um dado, determine a probabilidade de ocorrência de um: a) número maior que 2;     b) número ímpar;   c) número 6;    d) número 7.

3) Uma urna contém 4 bolas brancas e 8 pretas. Qual a probabilidade de, ao se extrair uma bola, ela ser preta?

4) Em uma urna há, 10 bolas vermelhas, 8 verdes e 5 pretas. Qual a probabilidade de efetuar uma retirada e escolher:  a)  uma  bola  verde;    b) uma bola vermelha ou preta;  c) uma bola verde  ou preta.

5)  Um bingo sorteia um número natural de 1 a 30, qual é probabilidade de se obter um número:  a) menor que 17;    b) múltiplo de 5;   c) múltiplo de 4;   d) ímpar.

6) Em um grupo,  500 pessoas  apreciam jazz,  400 apreciam rock  e 250 a mpb. Calcule a probabilidade  de uma pessoa escolhida, ao acaso: a) apreciar rock    b) apreciar jazz;    c)  apreciar rock ou MPB. 

7) No lançamento simultâneo de dois dados, calcule a probabilidade de aparecerem 2  faces  pares, se sabemos  que sua soma  é  6.

8) Com os  dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, são formadas senhas com 5 algarismos distintos. Se uma delas é escolhida ao acaso, qual a probabilidade de ela ser: a) múltiplo de 5;       b) par.

Probabilidade

  A história da teoria das probabilidades, teve início com os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse é o motivo da grande existência de exemplos de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria da probabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência de um número em um experimento aleatório.

    Experimento Aleatório

    É aquele experimento que quando repetido em iguais condições, podem fornecer resultados diferentes, ou seja, são resultados explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, a abordagem envolve cálculo de experimento aleatório.

    Espaço Amostral

    É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra que representa o espaço amostral, é S.

Fonte: http://www.somatematica.com.br/emedio/probabilidade.php

SIMULADO SOBRE COMBINAÇÃO

1) Entre 10 senadores de um partido, 6 serão escolhidos para participar de uma CPI. Quais são as possibilidades de escolha?

2)Em um campeonato de judô, há 18 inscritos. Calcule o número total de lutas que podem ser realizadas.

3) Quantas linhas  podemos ter em um  octógono ?

4)Quantos triângulos ficam determinados unindo os vértices de um dodecágono?

5)Em uma biblioteca um estudante deve escolher somente 3 livros entre 10. De quantos modos poderá fazê-los ?

6) Em um congresso há 7 físicos e 8 matemáticos. Quantas comissões podemos formar contendo 3 físicos e 4 matemáticos?

Análise Combinatória

A análise combinatória é um dos tópicos que a matemática representa a quantidade de possibilidades de acontecer um evento, em um agrupamento, sem que seja  preciso desenvolvê-lo. 

Foi a necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos chamados jogos de azar que levou ao desenvolvimento da Análise Combinatória, parte da Matemática que estuda os métodos de contagem. Esses estudos foram iniciados já no século XVI, pelo matemático italiano Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia. Depois vieram os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662).  A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar - de uma forma indireta - o número de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condições. 

(Fonte: https://www.algosobre.com.br/matematica/analise-combinatoria.html)

O estudo da análise combinatória é dividido em:

Princípio fundamental da contagem,  Fatorial,  Arranjos Simples,  Permutação Simples e Combinação Simples.















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Exemplos com Análise Combinatória


- Análise Combinatória no cotidiano

SIMULADO - JUROS COMPOSTOS

1) Calcule o montante que  R$ 21.300,00 aplicados a juros compostos de 2,7% a. t., com capitalização composta,  rendem em 12 meses de aplicação.

2) R$ 15.300,00 são emprestados, a juros de 4% ao bimestre, pelo prazo de 1 ano, com capitalização composta. Calcule o valor dos juros e o montante a ser devolvido.

3) Um capital foi colocado a juros compostos de 1,8% ao semestre, durante dois anos. Sabendo que rendeu R$ 24.500,00 de juros, calcule o montante obtido nesse investimento.

4) Calcule o valor da taxa implícita numa aplicação que produziu o montante de R$ 35.000,00, a partir de um capital de $ 18.000,00, em 5 anos.

5)  Calcule a taxa de juros  que um capital de R$ 7.500,00, aplicados a juros compostos durante 1 ano, produz um montante de R$ 21.000,00.

EXERCÍCIOS COM JUROS COMPOSTOS

1) Calcule o montante que o capital de R$ 5 000,00, aplicado a uma taxa de juros compostos de 20% a. mês  deverá  gerar em 4 meses de aplicação.  

 

2) Calcule o montante que  R$ 26.500,00 aplicados a juros compostos de 3,6% a. t., com capitalização composta,  rendem em 24 meses de aplicação.

3) Encontre o montante que  R$ 21.400,00, aplicados em 16 meses, a juros compostos de 2,4%  ao quadrimestre renderá ao seu investidor.

4) R$ 30.000,00 são emprestados, a juros de 3% ao mês, pelo prazo de 1 ano, com capitalização composta. Calcule o valor dos juros e o montante a ser devolvido.

5) Calcule os juros e o montante de uma aplicação de R$ 8.250,00, deverá render por 18 meses à taxa de 1,4%  ao bimestre.

6) Certo capital foi colocado a juros compostos de 12% ao semestre, durante dois anos. Sabendo que rendeu R$ 26000,00 de juros, calcule o montante obtido nesse investimento.

7) Um capital de R$ 1 000,00 foi aplicado a uma taxa de 8% a. t. , durante um ano e meio. Calcule os juros obtidos nesse período.

8) Calcule o valor da taxa implícita numa aplicação que produziu o montante de $ 28.000,00, a partir de um capital de $ 12.000,00, em 4 anos.

9)  Calcule a taxa de juros  de um capital de R$ 10 000,00, aplicados a juros compostos, capitalizados durante 3 meses que produziu um montante de R$ 15 000,00.

10) Uma pessoa recebe a proposta de investir, hoje, uma quantia de R$ 120.000,00 para receber R$ 161.270,00 daqui a 10 meses. Qual a taxa de rentabilidade mensal do investimento proposto no regime de juro composto?

Juros Compostos

Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sobre o capital inicial, acrescido dos juros acumulados até o período anterior. A taxa de juros incide sobre o montante do período anterior.

Neste regime de capitalização, o valor dos juros cresce em função do tempo.

O conceito de montante é o mesmo definido para capitalização simples, ou seja, é a soma do capital aplicado ou devido mais o valor dos juros correspondentes ao prazo da aplicação ou da dívida.

A expressão final do montante M para capitalização composta é dada por

M = C⋅(1+ i)^n     onde C é capital inicial, i é taxa de juros composto no período n. O termo (1+ i)n é chamado fator de capitalização ou fator de acumulação de capital para pagamento simples ou único.

... aula de juros compostos

Juros Simples – Simulado

 1) Bob emprestou R$ 3.600,00 que serão pagos em 24 meses a uma taxa de 1,5% a.t. Calcule os juros e o montante do capital aplicado.

 2 ) Qual o montante do capital de R$ 4.800,00 aplicado durante 18 meses a uma taxa de 1,2% ao bimestre ? 

 3) A que taxa um capital de R$ 12500,00 rende R$ 5.000,00 em 8 meses?

 4) Em quantos meses um capital de R$ 7500,00 rende  R$ 2700,00 de juros, à taxa de 6 % ao ano.

 5) Calcule os juros  de R$ 3200,00 aplicados a  2,1 % a.t. por 18 meses.

6) Calcule os juros simples de R$ 4200,00, aplicados à taxa de 3 % a.m., durante 360 dias.
7) Qual o capital que aplicado a 1,5% a.m. rende R$ 450,00 de juros em 180 dias?

Matemática Financeira

NOÇÕES BÁSICAS

Conceito: a MATEMÁTICA FINANCEIRA tem por objetivo estudar as diversas formas de evolução do valor do dinheiro no tempo, bem como as formas de análise e comparação de alternativas para aplicação / obtenção de recursos financeiros.

Capital: é qualquer valor expresso em moeda (dinheiro ou bens comercializáveis) disponível em determinada época. Referido montante de dinheiro também é denominado de capital inicial ou principal.

Juros:  é o aluguel que deve ser pago ou recebido pela utilização de um valor em dinheiro durante um certo tempo; é o rendimento em dinheiro, proporcionado pela utilização de uma quantia monetária, por um certo período de tempo.

Taxa de Juros:  é um coeficiente que corresponde à razão entre os juros pagos ou recebidos no fim de um determinado período de tempo e o capital inicialmente empatado.

Exemplo:

Capital Inicial : $ 100

Juros : $ 150 - $ 100 = $ 50

Taxa de Juros: $ 50 / $ 100 = 0,5 ou 50 % ao período

a taxa de juros sempre se refere a uma unidade de tempo (dia, mês, ano, etc) e pode ser apresentada na forma percentual ou unitária.

Taxa de Juros unitária: a taxa de juros expressa na forma unitária é quase que exclusivamente utilizada na aplicação de fórmulas de resolução de problemas de Matemática Financeira; para conseguirmos a taxa unitária ( 0.05 ) a partir da taxa percentual ( 5 % ), basta dividirmos a taxa percentual por 100: 5 % / 100 = 0.05 

Montante: denominamos Montante ou Capital Final de um financiamento (ou aplicação financeira) a soma do Capital inicialmente emprestado (ou aplicado) com os juros pagos (ou recebidos).

Capital Inicial = $ 100 + Juros =   $ 50    = Montante = $ 150

Regimes de Capitalização:  quando um capital é emprestado ou investido a uma certa taxa por período ou diversos períodos de tempo, o montante pode ser calculado de acordo com 2 regimes básicos de capitalização de juros: • capitalização simples; • capitalização composta;

Capitalização Simples:  somente o capital inicial rende juros, ou seja, os juros são devidos ou calculados exclusivamente sobre o principal ao longo dos períodos de capitalização a que se refere a taxa de juros

Capitalização Composta: os juros produzidos ao final de um período são somados ao montante do início do período seguinte e essa soma passa a render juros no período seguinte e assim sucessivamente. Comparando-se os 2 regimes de capitalização, podemos ver que para o primeiro período considerado, o montante e os juros são iguais, tanto para o regime de capitalização simples quanto para o regime de capitalização composto; Salvo aviso em contrário, os juros devidos no fim de cada período (juros postecipados) a que se refere a taxa de juros. No regime de capitalização simples, o montante evolui como uma progressão aritmética, ou seja, linearmente, enquanto que no regime de capitalização composta o montante evolui como uma progressão geométrica, ou seja, exponencialmente.

Fluxo de Caixa: o fluxo de caixa de uma empresa, de uma aplicação financeira ou de um empréstimo consiste no conjunto de entradas (recebimentos) e saídas (pagamentos) de dinheiro ao longo de um determinado período.

Copiado como Fonte de Consulta aos educandos :

http://www.tudosobreconcursos.com/materiais/matematica-financeira/nocoes-basicas-de-matematica-financeira


Aula sobre Divisão

Matemática Zero 2.0 - Aula 32 - Porcentagem Básica - (parte 1 de 1)

Matemática Zero 2.0 - Aula 33 - Noção de Juros - (parte 1 de 1)

Logaritmo

A palavra logaritmo originou-se das palavras gregas Logos (razão) e arithmos (números).

... No século XVII, havia dificuldades na elaboração de cálculos devido principalmente às operações de multiplicação, divisão e potenciação.

... Burgi, em 1620, e John Napier, em 1614, publicaram as primeiras tabelas de logaritmos, cuja finalidade era a simplificação de cálculos numéricos complicados.

... Embora as tabelas de logaritmos não seja tão usadas atualmente como instrumento de cálculo, os logaritmos são de grande importância em diversas áreas, por exemplo, na medição de terremotos, ph de líquidos, calculo de juros, crescimento de bactérias e outros.

... Para compreendermos melhor o que é logaritmo, consideramos uma base positiva e diferente de 1.

Ex: 3⁴ = 81  

Ao expoente dessa potência damos o nome de logaritmo. Portanto, 4 é o logaritmo de 81 na base 3.

3⁴ = 81  ⇔ log   81₃ = 4

Dados dois números reais e positivos a e b, sendo  1, chama-se logaritmo b na base a o expoente que deve colocar à base a. Indicamos:

log_a b = x ⇔ a = b

Onde     b é o logaritmando

             a é a base

             x é o logaritmo

Condição de existência

CE        b > 0 
            1  a > 0 

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Fonte....http://www.coladaweb.com/matematica/logaritmo

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... vídeo aula sobre logaritmo

...matéria da prova

FUNÇÃO EXPONENCIAL

A função, f: IR em IR definida por f(x)=a^x, com (a > 0 e a≠1) é chamada de  função exponencial de base a. O domínio desta função é o conjunto dos números reais, juntamente com o contradomínio. A imagem é o conjunto dos reais positivos.

SIMULADO SOBRE EQUAÇÕES EXPONENCIAIS

Resolva no caderno e apresente ao professor:

EQUAÇÃO EXPONENCIAL

Vídeo aulas de Equação Exponencial

Aula 1

Aula 2

Simulado de Potências

Resolva as Potências

23	(-3)- 4	(1/2)3	23 . 24	(0,23)2	1024 2/5
-43	(-5)-5	(3/2)4	33 . 3-6	(34) -2	729 2/3
(-3)3	(6)- 4	(5/2)3	53 : 5-2	144 1/2	3125 2/5
(-2)4	(0,7)2	(4/7)2	23 : 27	642/3	400  -1/2
-54	(- 0,5)-3	(5/3)-3	73 : 74	216-2/3	243  - 0,2
-106	(0,12)-2	(3/7)-2	(3 .5)3	6251/2	32  - 0,4
230	(- 15)-2	(4/5)-4	(4 /5)3	196-1/2	256 0,25

POTENCIAÇÃO E DIVISÃO ... 2º ANOS: F, G, H e I

Vídeo sobre Potenciação, do canal Matemática Zero 

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Vídeo sobre divisão, do canal Matemática Zero - You Tube