EQUAÇÃO EXPONENCIAL

- Equações são expressões algébricas matemáticas que possuem um sinal de igualdade entre duas partes. A intenção de resolver uma equação é determinar o valor da incógnita (valor desconhecido), aplicando técnicas resolutivas. Veja exemplos: 
2x + 14 = 32
3x = 27
5x+1 = 625

- Equações exponenciais são aquelas em que a incógnita se encontra no expoente de pelo menos uma potência. Esse tipo de função apresenta características individuais na análise de fenômenos que crescem ou decrescem rapidamente. Elas desempenham papéis fundamentais na Matemática e nas ciências envolvidas com ela, como: Física, Química, Engenharia, Astronomia, Economia, Biologia, Psicologia entre outras. 

Fonte: www.passeidireto.com

Problemas com funções do 2º grau

Funções no cotidiano





1)  Uma rampa de skate foi projetada segundo a função y = 5 + x² – 6x, com medidas em metros , conjeture:

a) a largura da rampa de skate;

b) a profundidade da rampa;

c) o desenho da rampa no plano cartesiano.

2) João arremessa uma bola de papel em direção ao lixo que obedece a função f(x) = -x²  +8x – 12. Adotando o dimensionamento em metros, determine:

a) a distancia entre João e o cesto de lixo;

b) a altura máxima da bola de papel;

c) o gráfico do movimento no plano cartesiano.

3) A  estrutura parabólica que sustenta uma ponte é dada pela função  y =  x² -8x + 12, com dimensões em metros, determine:

a)  a altura máxima desta estrutura;

b) o comprimento da estrutura que suporta a ponte;

c)  o esboço no plano cartesiano desta estrutura.

4)  O formato de uma panela de paella, corresponde a função y =  7x -12 – x². Sabendo que ela foi dimensionada em metros, determine:

a) a profundidade desta panela;

b) o diâmetro desta panela;

c) o seu desenho no plano cartesiano.

5) O formato parabólico do  tampo lateral  de um  baú corresponde a função y = x -x² + 12,  sabendo que sua medidas são dadas em centímetros, determine:

a) a altura do tampo;

b) o comprimento lateral do tampo;

c)  o esboço da forma parabólica do tampo.

6)  O design frontal de uma igreja corresponde a função y= 15 - x²  -2x. Sabendo que suas dimensões são dadas em metros, determine:

a) sua altura máxima ou seu pé direito;

b) o comprimento frontal da forma parabólica;

c) o desenho de sua figura no plano cartesiano.

7) Uma antena parabólica foi construída segundo a  função y = 2 x²  +5 + 7x . Sabendo que suas medidas são expressas em metros, determine:

a) a profundidade da antena;

b) o diâmetro total da antena;

c) o seu desenho no plano cartesiano.

8)  O arco de um aqueduto romano obedece a função y = -x² +12 + x. Sabendo que suas medidas são expressas em metros, determine:

a)  a altura máxima deste aqueduto;

b) o comprimento frontal do aqueduto;

c)  o esboço de sua forma no  plano cartesiano.

9) Uma bola de basquete é arremessada por um jogador para o alto, percorrendo uma trajetória descrita por h(x) = -x²  + 6x - 5 , em que h é a altura, em metros, e x o tempo, em segundos. Determine:

a)  a máxima altura que a bola atinge em sua trajetória;

b) o instante em a bola atinge a altura máxima;

c) o tempo total que a bola percorre toda a trajetória até tocar o solo.

10)  Um foguete é atirado para cima de modo que sua altura h, em relação ao solo, é dada, pela função h = 15 + 7t – 2t², em que o tempo é dado em segundos e a altura é dada em metros. 

Calcule :  

a) a altura máxima alcançada pelo foguete;  

b) o instante em que o foguete atinge a máxima altura;

c) o tempo total que corresponde a trajetória do foguete.

FUNÇÃO DO 2º GRAU

 Definição

    Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais e a é diferente de 0.

  ...Vejamos alguns exemplos de função quadráticas:

f(x) = 3x² - 4x  + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1

f(x) = x² -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1

f(x) = 2x² + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5

f(x) = - x² + 8x, onde a = -1, b = 8 e c = 0

f(x) = -4x², onde a = - 4, b = 0 e c = 0

Gráfico

    O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax² + bx + c, com a diferente de 0, é uma curva chamada parábola.

Fonte:  www.somatemática.com.br

... vídeo aula

FUNÇÃO DO 1º GRAU

Definição

 Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a diferente de zero.

 Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante.

 Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:

 f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3
 f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7
 f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0

Gráfico

    O gráfico de uma função polinomial do 1º grau,  y = ax + b, com a diferente de 0, é uma reta oblíqua aos eixos Oxe Oy.


Fonte:  Somatematica.com.br & Brasilescola.com






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GeoGebra 
 ...  é um aplicativo de matemática dinâmica que combina conceitos de  geometria e álgebra. O programa permite realizar construções geométricas com a utilização de pontos, retas, segmentos de reta, polígonos etc., assim como permite inserir funções do 1º e 2º grau e alterar todos esses objetos dinamicamente, após a construção estar finalizada.

Baixe o geogebra no http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm

Tutorial para a construções de funções


Instituto Geogebra São Paulo     www.pucsp.br/geogebrasp/

CADERNO DO ALUNO - Volume 2

A Matemática é conhecida como uma das mais complicadas matérias do ensino fundamental e ensino médio, contudo, é uma das principais para o desenvolvimento lógico do ser humano, em sua fase de crescimento. A Matemática está presente no mundo desde os ante-passados, pois desde os primórdios ela já era usada como forma de contagem, pois os números só podiam ser somados, multiplicados, subtraídos ou divididos com o auxílio da Matemática. Com o passar dos anos, a Matemática vem sendo aprimorada afim de aumentar a capacidade de cálculo e lógica, pois com o avanço da tecnologia, permite-se resolver questões complexas, até então, desconhecidas pela capacidade humana.

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Caderno de matemática - Volume 2 - Gabarito
https://docs.google.com/file/d/0B0pn-iEbiKlDODFmMWRjNjMtMWIxZC00NmQwLTk3YTQtM2I2YmU5ODUxZDY2/edit?pli=1&hl=en#

GRANDEZAS PROPORCIONAIS

Plano Cartesiano

René Descartes, filósofo e matemático francês nascido em 1596, é um personagem de tanto destaque que até mesmo nossos dicionários acusam um substantivo e um adjetivo em referências ao seu nome: cartesianismo e cartesiano.

...apresentação da localização dos pontos no Plano Cartesiano...

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SIMULADO DE P.G.

1) Qual o 12º termo da PG (1, 4,...)?  

2)  Calcule o 15º termo da P.G. ( 2, 6,...).

3) Qual o 1º termo da P.G. de razão  6  e  a₄ = 7776?

4) Qual o  1º  termo da P.G. de razão  5  e  a₅ = 1875?

5) Quantos termos tem a P.G. de razão 3, com extremos  5 e  1215?

6) Escreva os 5 meios geométricos entre   5  e 320.

7) Interpole 4 meios geométricos entre 5  e 160.

8) Aline aplicou R$ 500,00 em um banco com rendimento mensal de 2%.Calcule o montante em 9 meses

9) Uma moto foi comprada por R$ 22 mil. Sabendo que ela sofre uma depreciação anual de 2%, calcule seu valor após 6 anos de uso.

10) Uma cultura com 50 bactérias se reproduz a uma taxa de 3% a cada hora. Sabendo que ela foi observada por 16 horas, calcule o total desta população de bactérias, após este experimento.

ARREDONDAMENTO NUMÉRICO

Em muitos momentos é necessário ou conveniente suprimir unidades inferiores às de determinada ordem. Esta técnica é denominada arredondamento de dados.

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

-É uma seqüência de números reais onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior  multiplicado  por uma constante  q (razão). 
 [ cálculo da razão, q =  a₂ /a₁ ]    

                                                     Termo  geral da P.G.

                                                                    a_n = a₁ . q ^{n – 1}  

     - Exemplos: 

a) Calcule o nono termo da P.G.  ( 1, 2, 4,... ).  

b) Qual é o primeiro termo da P.G., se r=-2 e a₆ = -96.

c) Calcule a razão da PG,   se   a₆= 1 e a₁ = 243.

d) Quantos termos tem a P.G. de razão 3, com  extremos  4 e  972 .

e) R$ 200,00  foram

 aplicados em um banco com rendimento mensal  de 2%. Calcule o montante após 8 meses.

--- Exercícios  propostos:

1)  Calcule  o oitavo termo da P.G.   ( 3, 6, 12, ... ) .           

2)  Calcule o sexto termo da P.G.  ( 2, 6,... ) .

3) Qual o primeiro termo da P.G.  de razão  6  e  a₄ = 1296?

4) Quantos termos tem a P.G. de razão 4 com extremos  5 e 1280 ?

5) Na P.G. com 6 termos, o primeiro é 2  e o último 486.  Calcule sua razão.

6) A população de uma cidade cresce a uma taxa de 5% ao ano. Se atualmente há 20 mil habitantes, qual a população prevista para 4 anos.

7)R$400,00 foram aplicados em um banco com rendimento mensal de 1%.  Calcule o montante após  10 meses .

8) A cada ano, o preço de  um carro diminui  5%  em relação ao ano anterior. Sendo  R$16.000,00 o valor atual do  veículo,  calcule sua depreciação em cinco anos.

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Vídeo aula sobre Progressão Geométrica

SIMULADO – SOMA DE P.A

1) Calcule a soma dos 72  termos  da   PA  (2, 5, 8,...).  
2) Qual  é a soma dos números ímpares compreendidos entre 22 e 444?

3) Quantos termos tem a PA (5, 7, 9...), que soma 480 ?

4) João caminha, sempre, 300 m a mais que o dia anterior. Quantos metros ele caminha em 25 dias?

5) Uma TV foi comprada em 24 prestações, sendo a  1ª de R$ 150,00; a  2ª  de R$ 180,00; a  3ª de R$210,00...   Calcule:   a) a 12ª   prestação                b) a 24ª   prestação   c) o valor pago na tv.

6) Um Sargento apresenta  seu regimento, com 171 homens, em forma triangular. Colocando 1 homem na 1ª  fila,  2  na 2ª fila,  3  na 3ª fila ...  
Calcule o número de filas desta apresentação.  
       

Soma de P. A.

Soma  da  Progressão Aritmética

        - Em quanto tempo você encontra a soma de 1+2+3 ... +98 +99+100?  
  - Por volta de 1785, um professor de uma aldeia alemã (Brunswick), apresentou aos seus irrequietos alunos uma atividade que consistia em somar todos os números de 1 a 100. Em poucos minutos o aluno, Karl F. Gauss de 08 anos, encontrou a solução. O menino apresentou a tarefa ao professor, que para sua surpresa estava correta. 
   O menino Gauss observou que as somas dos termos equidistantes dos extremos, eram sempre de mesmo valor, todas obtidas com 50 duplas: 
     (1 e 100), (2 e 99), (3 e 98), ... , etc , a soma era S = 50 x 101 = 5050 
   Assim a soma dos n termos de um P.A.  é dada por:     
                                                                        Sn= ( a1 + an ).n 
                                                                                                         2

     ... Exemplos: 
1) Calcule a soma dos 10 termos da PA (4,7,10,...). 
2) Qual é a soma de todos os números formados por dois algarismos? 
3) Quantos termos tem a PA que soma 1040, se a1 = 7 e an = 123.
4) Encontre o último termo da PA ( 3, 7, 11,....), onde seus termos somam
1378.
5) Quantos termos tem a PA ( 7, 9, 11,...) que soma 160 .

     ... Exercícios: 
1) Qual é a soma dos 20 termos da PA ( 10, 13, 16 ,...)?
2) Qual é a soma dos números ímpares incluídos entre 50 e 500.
3) Um esportista corre sempre 500 metros a mais que o dia anterior. Quantos metros ele corre em 15 dias?
4) Em uma caixa há 100 canetas. Retirando 1 caneta na 1ª vez, 3 na 2ª vez, 5 na 3ª vez, e assim por diante. Em quantas retiradas esvaziaremos a caixa?
5) Um anfiteatro com 800 lugares, tem 20 cadeiras na 1ª fileira, 24 na 2ª fileira, 28 na 3ª fileira ... Calcule o número de fileiras desta sala.
6) Uma TV está foi comprada em 12 prestações, sendo a 1ª de R$ 180,00 , a 2ª de R$ 185,00 , a 3ª de R$ 190,00 e assim por diante. Encontre: 
a) o valor da 12ª parcela
b) o valor total pago na TV.

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Vídeo aula - Soma de P.A.