...Logaritmos...

Logaritmos e Som

Decibéis
...A percepção do volume está relacionada à variação de pressão gerada por uma onda sonora e, portanto, à sua intensidade.
Nosso sistema auditivo tem dois limites de audibilidade:
- limiar de audibilidade (mínima intensidade audível)
- limite de dor (máximo nível de intensidade audível sem danos fisiológicos ou dor)
A gama entre os 2 limites é muito grande. Para uma frequência pura de 1000 Hz, esses limites vão de 10-12 watt/m2 a 1 watt/m2, ou seja, uma razão de 1 trilhão para 1.

...Numericamente, a referência em watt/m2 não é confortável. Para isso foi introduzida uma razão de compressão logarítmica, o decibel (dB).
...DECIBEL é uma relação logaritmica entre duas potências ou intensidades.
...dB = 10 log10 (I1/I2)

...O dB é uma unidade logarítmica muito usada em telecomunicações, por pelo menos dois motivos :
- O ouvido humano tem resposta logarítmica (sensação auditiva versus potência acústica)
- Em telecomunicações, se usam números extremamente grandes ou pequenos. O uso de logaritmos torna estes números pequenos e fáceis de manipular, e transforma produtos em somas e divisões em subtrações.

O dB é um número relativo e permite representar relações entre duas grandezas de mesmo tipo, como relações de potências, tensões, correntes ou qualquer outra relação adimensional. Portanto, permite definir ganhos e atenuações, relação sinal/ruído, dinâmica, etc...
...Por definição, uma quantidade Q em dB é igual a 10 vezes o logaritmo decimal da relação de duas potências, ou seja :
...Q(dB) = 10 log ( P1 / P2 ).
...Como a potência é proporcional ao quadrado da tensão dividida pela resistência do circuito, temos, aplicando as propriedades dos logaritmos (o log. do quadrado de n é duas vezes o log. de n) :
Q (dB) = 20 log ( V1 / V2 ) + 10 log ( R2 / R1)

...Outras unidades logarítmicas :
- O dBA : zero dBA equivale a uma intensidade sonora (pressão sonora) de 20 microPascal, e equivale aproximadamente ao limiar de audição. O limiar de dor se situa em torno de 120 dBA, ou seja, uma pressão 1 000 000 de vezes maior ou uma potência sonora 1 000 000 000 000 de vezes maior ! (a potência sonora é proporcional ao quadrado da pressão). O A se refere a um tipo de filtro de ponderação, que leva em conta a não linearidade do ouvido em freqüência.

- O Neper : Uma unidade bastante usada em calculo é o Neper, que é igual ao logaritmo neperiano da razão de duas tensões (ou correntes) na mesma impedância. Obs.: 1 N = 8,65 dB.
- O dBr é uma unidade relativa de medida de nível, em relação ao ponto zero de transmissão, (0 TLP), onde geralmente o nível do tom de teste é de 0 dBm.
Apenas indica o somatório dos ganhos e atenuações num ponto qualquer em relação ao ponto de referencia, ou ponto zero de transmissão.
- O dBm é uma unidade de medida de potência : 0 dBm = 1 mW (Não importa em qual resistência !)
P (dBm) = 10 log P (mW)
Portanto : 3 dBm = 2 mW , 30 dBm = 1W , -30 dBm = 1 microW
e ainda:
- O dBw é uma unidade de medida de potência: 0 dBw = 1W = 30 dBm
- O dBk é uma unidade de medida de potência: 0 dBk = 1 kW = 30 dBw = 60 dBm
- O dBm0 é uma unidade de medida de potência relativa ao ponto zero.
Geralmente, é usado para indicar o nível de outros sinais, como pilotos, tons de sinalização, ruído, fuga de portadora, diafonia, etc., em relação ao tom de teste.
Ex.: um tom de sinalização de –20dBm0 terá uma potência (ou nível) de –28 dBm num ponto onde o tom de teste tem –8dBm. ( ponto de –8dBr).
Ex.: se num determinado ponto o nível do ruído é de –34 dBm e o nível do tom de teste é de –4dBm, então o nível do ruído é de –30dBm0.
Obs.: a relação sinal/ruído em db é o nível do ruído em dBm0 com sinal trocado.
...Relação entre dBm, dBr e dbm0 : dBm = dBr + dBm0
- O dBu é uma unidade de medida de tensão, onde 0 dBu = 0,775V.
Um voltímetro pode ter uma escala graduada em dBu, relacionada com a tensão V por:
U(dbu) = 20 log ( V / 0, 775 )
...Como 0,775V corresponde a tensão desenvolvida por 1 mW num resistor de 600 ohms, a leitura em dBu corresponde a potência em dBm, desde que seja efetuada em um circuito cuja resistência de terminação é de 600 ohms.
Em qualquer outra impedância Z (resistiva), deve ser somado à leitura em dbu um fator de correção:
F(db) = 10 log ( 600 / Z ) para obter o valor da potência em dBm:
P (dBm) = U (dBu) + F (dB).

...Soma de sinais não coerentes (ruído branco ou sinais de freqüências diferentes) :
Por exemplo, qual é a potência total de um sinal com 10 dBm somado a um ruído de 6 dBm ? Solução : a diferença entre as parcelas é 10 dBm - 6 dBm = 4 dB (obs. : subtrair potências em unidades logarítmicas equivale a fazer um quociente em unidades lineares, portanto, o resultado é um numero adimensional, o dB). No gráfico da figura seguinte, obtemos para uma diferença de 4 dB o valor de 1,45 dB. A soma dos dois sinais tem uma potência de 10 dBm + 1,45 dB = 11,45 dBm.


Sinais não coerentes se somam em potencia. Sinais coerentes (mesma freqüência) se somam (vetorialmente) em tensão. É preciso calcular esta soma vetorial de tensão e depois passar para potencia. No caso de 2 sinais não coerentes, temos:
P1 = potencia maior, P2 = potencia menor,
diferença em dB : dP(dB) = P1(dBm)-P2(dBm) = 10log(P1/P2) : escala superior do gráfico acima.
...valor a ser somado (em dB) à maior potência (em dBm):
10log[(P1+P2)/P1] = 10log[1+(P2/P1)] ; como P2/P1=antilog(-dP/10), temos:
10log(1+antilog(-dP/10)): escala inferior do gráfico acima.
Somar x dB a uma potencia em dBm equivale a multiplicar esta potencia em unidades lineares (W, por exemplo) por um numero adimensional igual ao antilog(x/10), portanto resulta em uma nova potencia, e que pode ser expressa por exemplo em dBm. Portanto, a soma de dBm com dB resulta em dBm !. Da mesma forma, subtrair dB de uma potencia em dBm equivale a dividir esta potencia por um numero adimensional, resultando em uma nova potencia. Portanto, subtrair dB de dBm resulta em dBm !.

Obs.: Somar diretamente os valores em dBm não faz sentido, pois equivale a multiplicar estas potencias em unidades lineares! Por exemplo, as seguintes somas de sinais não coerentes:
0 dBm + 0 dBm = 3 dBm (e não 0 dBm ! )
0 dBm + 3 dBm = 4,76 dBm (e não 3 dBm !)
-2 dBm + 2 dBm = 3,45 dBm (e não 0 dBm !)
O sinal + se refere às unidades lineares de potencia, ou seja, indica que estamos somando as potencias em unidades lineares (W, mW, etc...) correspondentes aos valores em dBm.
...Mas:
0 dBm + 0 db = 0 dBm
0 dBm + 3 dB = 3 dBm
-2 dBm + 2 dB = 0 dBm

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Logaritmo e Biologia

A Teoria da Evolução de Darwin e o Logaritmo
No séc. passado um homem conseguiu ao mesmo tempo admiração e repulsa da Humanidade ao explicar a descoberta de ossos de animais muito antigos hoje conhecidos como dinossauros e, indiretamente, por revelar um parentesco longíquo entre o homem e o macaco. Seu nome era Sir CHARLES DARWIN e seus estudos, apesar do alvoroço que causaram, propiciaram uma verdadeira revolução no campo da biologia.
Há muito tempo antes, no séc. XVI, um barão escocês tinha feito uma outra revolução, só que esta havia sido mais silenciosa, contudo não menos importante, e envolvia não a biologia mas sim a matemática. Seu nome era JOHN NAPIER e ele criou a Teoria da Evolução dos Números, ou mais precisamente, os logarítmos.

Certa feita o Barão de Merchinston estava em seu castelo a tentar resolver um problema mais ou menos assim: existem números que podem ser expressos como produto de outros números - em especial 9 é igual a 3x3 ou 32 (lê-se 3 à segunda potência ou 3 ao quadrado) e 16 é igual a 2x2x2x2 ou mais simplesmente 24 (dois à quarta potência), onde o 4 é chamado de expoente, que indica quantas vezes a base (ou o número) 2 é multiplicada por si mesma. Equações da forma 2x = 8 são fáceis de se resolver quando consegue-se exprimir os dois lados da igualdade numa mesma base, ou seja, 8 é igual a 2x2x2 ou 23, o que implicaria ser o "xis" na equação ser igual a 3. Mas qual seria o significado de uma outra equação como a do tipo 2y = 5 ?

...Investigando um valor que satisfizesse esta equação, Napier concluiu que o número procurado não era inteiro e estava entre 2 e 3, pois 22 < 2y < 23. Aqui surgiram duas dúvidas: qual seria este valor e o que significaria elevar uma base a um expoente que não era inteiro? Depois de muito estudar, o barão notou que precisaria dar uma nova interpretação ao significado de uma base elevada a um expoente - era a sua única saída - e ele conseguiu.

"Vamos a observar os números 21, 22, 23 e 24, dizia ele; não da maneira tradicional e sim como números que evoluem (do latim LOGARITHM) de uma base (basis) 2". Assim 24 = 16 pode ser lido como "o 4 evolui (logarithm) na base (basis) 2 dando como resultado 16". Outro exemplo; 32 = 9 - "o 2 evolui (logarithm) na base (basis) 3 dando como resultado 9". No original em latim estas equações lêm-se:
...logarithmorum 16 basis 2 aequalis 4
...logarithmorum 9 basis 3 aequalis 2
... que também podem ser lidos como:"a evolução do número 16 na base (basis) 2 é 4" e "a evolução do número 9 na base (basis) 3 é dois".
...Com o tempo estas duas frases matemáticas foram resumidas a log216 = 4 e log39 = 2 , como hoje são ensinadas nas escolas, mas que ainda revelam o brilhantismo do gênio de NAPIER.
...A partir desta magnífica descoberta os matemáticos começaram a calcular os logaritmos de todos os números, em todas as bases possíveis. Em particular foi resolvida aquela "estranha" equação 2y = 5 da seguinte forma; "o número y que evolui (logarithm) na base (basis) 2 dando como resultado 5 foi escrito por Napier como sendo:
...que é justamente o ponto que une o grande DARWIN e o genial NAPIER. É pena que nem o barão parecia gostar de biologia e muito menos "Sir" DARWIN de matemática, pois a NAPIER jamais passou pela cabeça (imagino) algum parentesco, mesmo que longíquo, entre o homem e o macaco. E a DARWIN muito menos estudar a fundo a matemática. Porém não é que o grande matemático conseguiu "dizer" o que DARWIN disse trezentos anos antes (e apenas com números!) que "o homem descende do macaco"?


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Logaritmo e Química

...Logaritmo...chamamos de logaritmo de a, na base b, ao número c, tal que:

Onde:
a = logaritmando (a > 0)
b = base (b ≠ 1e > 0)
c = logaritmo

Uma observação importante sobre o estudo dos logaritmos diz respeito ao seu domínio. Só existem logaritmos de números positivos, com bases também positivas e diferentes de 1.

Curiosidades da Química
Os logaritmos são fundamentais na Química para o cálculo do pH (potencial de hidrogênio iônico). O pH é um índice que indica a acidez, neutralidade ou alcalinidade de um meio qualquer, ou seja, o valor do pH indica se uma solução é ácida, básica ou neutra.
pH = - log [H+]

...onde, [H+] representa a concentração dos íons H+ expressa em mol/L O logaritmo nesta definição é o logaritmo comum, na base 10. Por exemplo:

1) Água pura a 25 °C
[H+] = 10 -7 mol/L
pH = - log[10 -7] = 7 ...pH = 7
2) Solução ácida a 25 °C
[H+] = 10 -5 mol/L
pH = - log[10 -5] ...pH= 5
3) Solução básica (alcalina) a 25 °C
[H+] = 10 -9 mol/L
pH = - log[10 -9] ...pH= 9

A escala de pH é uma maneira de indicar a concentração de H+ numa solução. Esta escala varia entre o valor mínimo 0 (acidez máxima), e o máximo 14 (basicidade máxima). A 25ºC uma solução neutra tem um valor de pH=7.


Em soluções ácidas:
pH<7...[H+] >10-7 mol/L ...[OH-]<10-7mol/L

Em solução básicas:
pH>7...[H+]<10-7mol/L...[OH-]>10-7mol/L
Do mesmo modo pode-se definir o pOH em relação à concentração de íons OH-.
pOH = - log [OH-]
A partir da constante de dissociação da água que tem o valor de 10-14 a 25°C, pode-se determinar a relação entre o pOH e o pH. Assim pela definição de Kw tem-se a relação entre as duas actividades:

Kw =[H+][OH-] = 14

Ao aplicar logaritmos, obtém-se a relação entre o pH e o pOH:
pH + pOH = 14

Medida de pHO pH pode ser determinado:
• por adição de um indicador de pH na solução em análise. A cor do indicador muda confome o pH da solução. Médoto não preciso.
• usando um medidor de pH acoplado a um elétrodo de pH. O medidor de pH é um milivoltímetro com uma escala que converte o valor de tensão do elétrodo de pH em unidades de pH.


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Logaritmos & Torre Eiffel

...O perfil da Torre Eiffel é aproximadamente igual a curva decrescente de uma Função Logarítmica. Gustav Eiffel, seu idealizador, preocupado com seu cálculo estrutural a projetou para suportar ventos de até 250 km/h e se inclinar sem problemas conforme a dilatação provocada diariamente pelo calor do Sol. A torre foi construída sobre terreno arenoso, para atingir mais de 300 metros de altura, sem o uso de modernos guindastes e ainda fazer com que os quatro pilares se encontrem com encaixe milimétrico, formando uma plataforma situada a 57 metros de altura
...Cada componente da torre foi pré-fabricado em local distante do canteiro de obras, e mesmo assim todos se encaixarem perfeitamente, sem a necessidade de ajustes durante a colocação. Desta forma o escritório de Gustav optou pela do desenho do arquiteto Stephen Sauvestre, que possuía a resistência e beleza da forma de uma curva logarítmica. Atualmente possui 325 metros (adicionado a altura das antenas que possui). Na época de sua construção tinha aproximadamente 7 300 toneladas de ferro e hoje em dia tem aproximadamente 10 000 toneladas. A torre possui três andares. Na base foram usados cimento e aço. Com a ajuda de andaimes de madeira, entre 150 e 300 operários, orientados por engenheiros veteranos, começaram a montar a estrutura de ferro fundido, peça por peça. Outra centena de metalúrgicos trabalhavam numa fábrica forjando as 18 mil peças que iriam compor a torre.
... O complexo desenho das vigas foi projetado para garantir estabilidade contra ventos fortes que atingem a região. Já o design arqueado dos pés da base tinha caráter puramente estético em forma de uma curva logarítmica. Em 21 meses a estrutura metálica de 10 mil toneladas estava pronta.Os quatros pilares possuem quatro metros de cimento. Possui arcos ligando os quatro pilares instalados a 39 metros acima do solo. O primeiro andar fica a 57 metros acima do solo e pode suportar a presença de 3 000 pessoas ao mesmo tempo. O segundo andar fica a 115 metros acima do solo e suporta a presença de 1 600 pessoas. O terceiro andar fica a 276 metros acima do solo e suporta 400 pessoas.
...Em 1964 a Torre Eiffel entrou para a lista de monumentos históricos de Paris e hoje é considerada uma obra-prima da engenharia civil e do design arquitetônico. Ela recebe a cada ano mais de 6 milhões de turistas que, a 274 metros do solo, têm uma incrível vista. Num dia claro, com a ajuda de um binóculo, o raio de visão alcança aproximadamente 60 quilômetros.

Torre Eiffel

...A Torre Eiffel,(Tour Eiffel), é uma torre de ferro construída no Campo de Marte ao lado do Rio Sena em Paris. A torre tornou-se um ícone mundial da França é uma das mais conhecidas estruturas do mundo.

...Ela foi construída em 1889, em Paris, como parte das comemorações do centenário da Revolução Francesa. Durante os preparativos para os festejos, o governo francês decidiu construir um monumento para marcar a data. Promoveu-se, então, um concurso para escolher o melhor projeto. Após analisar mais de 100 propostas, o comitê responsável optou pela idéia de uma torre, apresentada pelo renomado engenheiro francês Gustave Eiffel. Ele já havia trabalhado em inovadores projetos arquitetônicos, como a construção da estrutura da Estátua da Liberdade, em Nova York. A ousadia da torre de Eiffel, desenhada para ter 300 metros de altura, gerou na época muitas discussões e desconfianças.

...O projeto do engenheiro Gustave Eiffel (1832-1923), de quem herdaria o nome, da torre com uma estrutura metálica que se tornaria, então, a estrutura mais alta do mundo construída pelo homem. Com seus 317 metros de altura, possuía 7300 toneladas quando foi construída, sendo que atualmente deva passar das 10000, já que são abrigados restaurantes, museus, lojas, entre muitas outras estruturas que não possuía na época de sua construção.

... Eiffel, um notável construtor de pontes, era mestre nas construções metálicas e havia desenhado a armação da Estátua da Liberdade, erguida pouco antes no porto de Nova Iorque. Quando o contrato de vinte anos do terreno da Exposição mundial (de 1889) expirou, em 1909, a Torre Eiffel quase que foi demolida, mas o seu valor como uma antena de transmissão de Rádio a salvou.

... Os últimos vinte metros desta magnífica torre correspondem a antena de rádio que foi adicionada posteriormente.A torre é visitada anualmente por 6,9 milhões de pessoas.

Função logarítmica

...O conceito de função logarítmica está implícito na definição de Napier e em toda a sua obra sobre logaritmos.
...A invenção dos logaritmos ( palavra de origem grega:(logos) = tratado, arithmos (ariqmos) = números), deve-se ao matemático escocês John Napier, barão de Merchiston (1550-1617), que se interessou fundamentalmente pelo cálculo numérico e pela trigonometría. Em 1614, e ao fim de 20 anos de trabalho, publicou a obra Logarithmorum canonis descriptio, onde explica como se utilizam os logaritmos, mas não relata o processo como chegou a eles.
...Um ano depois, em 1615, o matemático inglês Henry Briggs (1561-1631), visitou Napier e sugeriu-lhe a utilização da base 10. A Napier agradou-lhe a ideia e resolveram elaborar as respectivas tábuas dos logaritmos decimais. Com a morte de Napier é Brigs que conclui o trabalho e em 1618, publica Logarithmorum Chiliaes prima, primeiro tratado sobre os logaritmos de base 10 e faz o calculo para os números de 1 a 20 000 e de 90 000 a 100 000.
...A definição de logaritmo logb a = x Û bx = a, onde a base b > 0 e b ¹ 1 e o logaritmando a > 0. Na igualdade logb a = x, lê-se: o logaritmo ou log de a na base b é igual a x, onde a é o logaritmando, b a base e x é o logaritmo.

FUNÇÃO LOGARÍTMICA - É toda função f: que associa a cada x o logaritmo, na base b, de x: f(x) = logb x

Exemplos:

a) f(x) = log3 x
b) g(x) = log1/3 x

Gráficos da Função Logarítmica

...Função Decrescente...
...0 < a < 1




...Função Crescente...
...a > 1



Observações:

a) O gráfico da função logarítmica passa sempre pelo ponto (1,0).

b) O gráfico nunca toca o eixo y e não ocupa pontos dos quadrantes II e III.

c) Quando a > 1, a função logarítmica é crescente (x1 > x2 loga x1 > loga x2).

d) Quando 0 < a <1, a função logarítmica é decrescente (x1 > x2 loga x1 < loga x2).

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PIPAS e MATEMÁTICA:
Origens, lendas, mitos...

...A história das pipas possui mistérios, lendas, símbolos e mitos. Ela também encanta pela magia e beleza. Tudo deve ter começado quando o homem primitivo se deu conta de sua limitação diante da capacidade de voar dos pássaros. Essa frustração foi o mote para que ele desse asas a sua imaginação.

...Pipa, papagaio ou pandorga, entre outras denominações, pode ser definido como um brinquedo que voa preso a extremidade de uma linha ou barbante. Em geral, tem uma armação leve de bambu ou madeira, sobre a qual se estica uma folha de papel ou plástico.
... A Pipa também ajuda na construção dos conceitos matemáticos. Com ela podemos ensinar a geometria de forma lúdica, desenvolvendo o raciocínio lógico sempre promovendo, nesta construção, a formação do indivíduo com um trabalho cooperativo onde há respeito pelo ambiente em que se vive. Durante a construção, a Pipa, é caracterizada por alguns entes geométricos como: linhas concorrentes, paralelas, triângulos, retângulos, triângulos retângulo, losangos, ângulos etc.

...Quem achar, contudo que as pipas não têm outra utilidade, a não ser diversão, engana-se. O milenar brinquedo auxiliou na criação do pára-raios, esteve presente na primeira transmissão radiofônica e ainda auxiliou Santos Dumont em suas primeiras experiências, entre outros atributos.

...Os historiadores acreditam que tenha sido inventada entre 400 e 300 (A.C.) por Arquitas, um grego da cidade de Tarena. Os chineses afirmam, contudo, que o general Han Sin a inventou em 206 (AC), para uso dos militares.
...Em 1749 o escocês Alexander Wilson usou vários termômetros presos as pipas para medir a temperatura nas alturas. Já Benjamim Franklin, em 1752, utilizando uma pipa forrada de pano, demonstrou em um dia de chuva, que nas nuvens existe eletricidade estática, criando assim o pára-raios.

...O inglês Douglas Archibasld, em 1883, prendeu um anemômetro (medidor de vento) à linha de uma pipa e mediu a velocidade do vento a 360m de altura. A aerofotografia com o auxílio de pipas também é muito praticada desde o fim do século XIX. Guglielmo Marconi em 1901 usou uma pipa para erguer uma antena e fez a primeira transmissão de rádio.
...No fim do século XIX e inicio do século XX, o homem estava decidido a construir uma máquina que lhe permitisse voar, nessa época ele só tinha duas referências de vôo, que eram as aves e a pipa. Muitos tentaram imitar os pássaros com suas máquinas sem sucesso, outros tentavam usando pipas.
...Em 1906, depois de vários testes, o brasileiro Alberto Santos Dumont fez o primeiro vôo, usando um conjunto de pipas-caixas, acionadas por suas próprias forças. Este avião recebeu o nome de “14 BIS”. Fonte: www.pipas.art.br

...Nós brasileiros conhecemos as pipas através dos colonizadores portugueses por volta de 1596 que, por sua vez, as conheceram através de suas viagens ao Oriente. Um fato pouco conhecido de nossa História deu-se no Quilombo dos Palmares, quando sentinelas avançadas anunciavam por meio de pipas quando algum perigo se aproximava mais uma prova de que a pipa era conhecida na África há muito mais tempo, pois os negros já cultuavam-na como oferenda aos deuses. http://www.pipas.com.br

ESTATÍSTICA

Estatística...

- Recolher e organizar a informação é muito importante no mundo atual.
Analisando os dados recolhidos podemos ter conclusões que permitem presumir situações e planejar atividades com muito mais segurança.
Desta forma cabe à Estatística, coletar, organizar e analisar a informação. E assim ter conclusões e fazer previsões.


Objetivos da Estatística

-Coletar e organizar dados respeitando situações do cotidiano.
-Construir tabelas de freqüência, gráficos de barras ou diagramas circulares a partir de dados.
-Ler e interpretar informações contidas em gráficos ou tabelas.
-Calcular média, moda e mediana para caracterizar uma distribuição.
-Tirar conclusões a partir da análise da informação e fazer conjecturas.

...trabalhando a Estatística.

Definição Primária:
- População: É o conjunto dos elementos em estudo.
- Amostra: É uma parte da população em que incide o estudo.

1. Coleta e organização de dados:

Nesta etapa vamos utilizar as Tabelas de Freqüência absoluta e Freqüência Relativa.

- A freqüência absoluta de um acontecimento é o nº de vezes que esse acontecimento se repete.

- A freqüência relativa de um acontecimento é o quociente da freqüência absoluta desse acontecimento pelo nº. total de elementos em estudo.



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Avaliação - 3º E - Infante

-Avaliação dos alunos do 3º ano E (Ensino Médio)
A Avaliação deverá entregue no início da 1ª aula do dia 19/11/2008
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TURMA PAR

AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA

1) Nove atores e uma atriz aguardam um teste, em um banco de seis lugares . De quantos modos eles podem sentar, nunca ficando em pé a atriz.
2) Após uma reunião 64 pessoas se despedem com apertos de mão. Calcule o total de cumprimentos.
3) Quantos anagramas da palavra FUVEST:
a) Iniciam por vogal
b) terminam em consoante.
4) Oito “curinthiano” vão ao Pacaembu, em uma Fusca com 5 lugares, para assistir o Timão jogar. De quantas maneiras eles poderão ocupar 5 os lugares no Fusca.
5) Quantas diagonais ficam determinadas unindo os vértices de um eneágono?
6) Em um congresso há 15 Sommelier’s e 20 Enólogos . Quantas comissões de 7 pessoas podemos formar com 3 Sommelier’s e 4 Enólogos?

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TURMA ÍMPAR

AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA

1) Quantos anagramas da palavra FUVEST:
a) Iniciam por vogal
b) terminam em consoante.
2) Nove atores e uma atriz aguardam um teste, em um banco de sete lugares . De quantos modos eles podem sentar, nunca ficando em pé a atriz.
3) Em um congresso há 18 Sommelier’s e 22 Enólogos . Quantas comissões de 7 pessoas podemos formar com 3 Sommelier’s e 4 Enólogos?
4) Quantas diagonais ficam determinadas unindo os vértices de um heptágono?
5) Sete “curinthiano” vão ao Pacaembu, em uma Fusca com 5 lugares, para assistir o Timão jogar. De quantas maneiras eles poderão ocupar 5 os lugares no Fusca.
6) Após uma reunião 62 pessoas se despedem com apertos de mão. Calcule o total de cumprimentos.
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Equipe Sabinada - Futebol de Salão - Infante

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PITÁGORAS DE SAMOS

(7ªS D e E)

Pitágoras de Samos, foi um filósofo e matemático grego pelos anos de 571 a.C. ou 570 a.C. e morreu provavelmente em 497 a. C. ou 496 a.C. em Metaponto.
...biografia...
-Segundo a tradição, a pitonisa do oráculo de Delfos avisou aos pais de Pitágoras - o rico joalheiro Mnésarcnos e sua mulher Parthénis - que o filho esperado por Parthénis seria um homem de extrema beleza, inteligência e bondade, e iria contribuir de forma única para o benefício de todos os homens.
Quando criança cresceu na ilha de Samos, Grécia. Ao sair da adolescência, Pitágoras acreditou que todos os conhecimentos que os gregos possuíam nada mais eram do que fragmentos da grande sabedoria que se encontrava nos templos egípcios e na Mesopotâmia. A fim de saber mais acerca dos mistérios da Vida e do Universo, deslocou-se para o Oriente, visitando lugares em que esses conhecimentos ainda permaneciam vivos.



Assim, escolhendo Esparta como ponto de partida, o filósofo de Samos inicia um grande périplo através das maiores cidades e templos do mundo antigo que se prolongou por 40 anos, antes de voltar de novo à sua terra natal.
Esta viagem levou-o a encontrar-se com as maiores personalidades do seu tempo. Em Mileto, encontrou Tales e Anaximandro. Porém, foi no Egito, onde permaneceu cerca de 25 anos, que Pitágoras extraiu os conhecimentos que fundamentariam seu ensinamento futuro. Em Saís, encontrou o faraó Amasis que, reconhecendo as suas enormes capacidades, permitiu a sua admissão nos templos iniciáticos do Egito. Existem ainda indícios de que teria sido discípulo de Zoroastro, e é certo que estudou com os maiores mestres daquela época.
...Pitágoras foi o primeiro homem a se intitular um filósofo, ou seja, amigo da sabedoria. Quarenta anos após tê-la deixado, Pitágoras retornou a Samos, sua ilha natal. A esperança de aí fundar uma escola iniciática fracassou em virtude da recepção hostil do tirano Policrato. Partiu então para Crotona, cidade helênica da Itália meridional, onde fundou a sua escola iniciática, conhecida pelo nome de "Fraternidade Pitagórica". Ali reuniu um grupo de discípulos, a quem iniciou nos conhecimentos de matemática, música e astronomia, consideradas como a base de todas as artes e ciências.



O símbolo utilizado pela escola era o pentagrama, que, como descobriu Pitágoras, possui algumas propriedades interessantes. Um pentagrama é obtido traçando-se as diagonais de um pentágono regular; pelas intersecções dos segmentos desta diagonal, é obtido um novo pentágono regular, que é proporcional ao original exatamente pela razão áurea.

Para entrar na "Fraternidade Pitagórica", o candidato era submetidas a rudes provas, tanto físicas como de ordem psicológica. Os ensinamentos nunca eram escritos, mas transmitidos de "boca a ouvido" àqueles que estavam prontos a assimilá-los.
Pitágoras, na sua linguagem dos números, designava Deus pelo número 1 e a Matéria pelo 2; exprimia o Universo pelo número 12 resultante da multiplicação de 3 por 4; quer dizer, Pitágoras concebia o universo composto por três mundos particulares que, encaixando-se uns nos outros através dos quatro princípios ou elementos da Natureza, desenvolviam-se em 12 esferas concêntricas. Pitágoras aprendera no Egito que os astros são corpos vivos que se movimentam no espaço, obedecendo a uma lei de harmonia universal, à qual estão inexoravelmente sujeitos no tempo, como todas as coisas manifestadas.

Pitágoras não deixou nenhum registro escrito, e sendo sua sociedade secreta, certamente existe muito sobre ele que foi perdido após a morte de seus discípulos, e a dissolução dos pitagóricos. Difícil hoje dizer o que ao certo foi obra de pitágoras e o que foi obra de seus discípulos, uma vez que a figura de pitágoras e a figura da filosofia pitagórica são indivisíveis hoje, de modo a tornar árduo o trabalho de separar o homem de seus ensinamentos, para aqueles que a isto se dedicam.



...o teorema mais famoso de Pitágoras, porém, relacionando os lados de um triângulo equilátero, é indiscutívelmente uma descoberta do filósofo, bem como grandes avanços geométricos, musicais e filosóficos mais tarde aprofundados por seus sucessores: Sócrates, Platão, Tales e outros.

Pitágoras e a Música
Nenhum músico teve tanta importância no período clássico quanto Pitágoras. Conforme conta a lenda, Pitágoras foi guiado pelos deuses na descoberta das razões matemáticas por trás dos sons depois de observar o comprimento dos martelos dos ferreiros.
A ele é creditado a descoberta do intervalo de uma oitava como sendo referente a uma relação de frequência de 2:1, uma quinta em 3:2, uma quarta em 4:3, e um tom em 9:8. Os seguidores de Pitágoras aplicaram estas razões ao comprimento de fios de corda em um instrumento chamado cânon, ou monocorda, e, portanto, foram capazes de determinar matematicamente a entonação de todo um sistema musical. Os pitagóricos viam que estas razões governam o Cosmos assim como o som, e Platão descreve em sua obra, Timeu, a alma do mundo como estando estruturada de acordo com estas mesmas razões. Para os pitagóricos, assim como para platão, a música se tornou uma natural extensão da matemática, bem como uma arte. A matemática e as descobertas musicais de Pitágoras foram, desta forma, uma crucial influência no desenvolvimento da música através da idade média na Europa.

Demonstração do Teorema de Pitágoras:

-Talvez a obra mais famosa de Pitágoras seja seu teorema, relacionando os lados de um triângulo eqüilátero. A seguir, a demonstração de como este filósofo e matemático chegou a tal relação usando apenas a geometria:



Em um triângulo retângulo qualquer, trace três quadrados adjacentes a cada um dos lados, tendo cada um deles o comprimento de um lado.
O quadrado referente ao maior dos dois catetos, divida ao meio, fazendo passar uma linha paralela à hipotenusa. Em seguida, divida-o novamente ao meio fazendo passar por seu centro uma linha perpendicular à hipotenusa. O resultado será um quadrado dividido em quatro trapézios irregulares.

Estes trapézios irregulares possuem dois lados que, unidos, tem o comprimento da hipotenusa. Portanto, é possível rearranjá-los de modo a se encaixarem no quadrado ao lado da hipotenusa.

Este quadrado, assim formado, cujos lados tem o comprimento da hipotenusa, resultará na formação de um quadrado menor em seu inteiror, cujo lado será igual ao lado do quadrado criado no menor dos catetos (b = a - c).

Portanto, o quadrado da hipotenusa tem área (a hipotenusa ao quadrado) igual à soma do quadrado do cateto menor mais o quadrado do cateto maior (as áreas dos 4 trapézios formados se igualam à área do quadrado do cateto maior).
quod erat demonstrandum!



Ao lado temos o desenvolvimento desse teorema, por volta do século XVI, na Inglaterra. Esta é uma prova da importância de seu estudo para a matemática e nos problemas de ordem prática. Um exemplo é a prova utilizada por Euclides (Livro I - proposição 47), cuja figura decorrente da demonstração é, as vezes, descrita como uma cauda de pavão, moinho de vento ou cadeira da noiva.

Segundo uma lenda, quando Pitágoras (por volta do século VI a.C.) apresentou o teorema, foram abatidas cem cabeças de gado, para comemorar o feito.



Nessa prova, após desenhar quadrados sobre cada um dos lados de um triângulo retângulo, demonstra-se que a área do triângulo BOC é igual a metade da área do quadrado ABOP; que, por sua vez, é igual a área do triângulo BAH e igual a metade da área do retângulo BHTU.



Portanto, a área do quadrado ABPO é igual a área do retângulo BHTU.
Em seguida, e de modo análogo, demonstra-se que a área do quadrado ACSR é igual a área do retângulo CGTU.
Assim, podemos dizer que a soma dos quadrados dos lados menores de um triângulo retângulo (os catetos) é igual ao quadrado do maior lado,ou seja, o quadrado da hipotenusa.


Ditos Pitagóricos:
"Tudo são números"
"Anima-te por teres de suportar as injustiças; a verdadeira desgraça consiste em cometê-las."
"A melhor maneira que o homem dispõe para se aperfeiçoar, é aproximar-se de Deus."
"A vida é como uma sala de espectáculos: entra-se, vê-se e sai-se. "
"A Evolução é a Lei da Vida, o Número é a Lei do Universo, a Unidade é a Lei de Deus."
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Estatística

Trabalho de Estatística (3ºs D e E )

-Caro aluno, como subsídio para sua pesquisa, consulte o arquivo ESTATÍSTICA BÁSICA no "sites recomendados", ao lado.
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Pesquise, responda e dê exemplos quando necessário:

1) Como a Estatística era utilizada até o século XVIII ?
2) O que é Método, Método Estatístico, Científico, Experimental e Estatístico.
3) O que é Estatística?
4) Como são organizadas as Fases do Método Estatístico?
5) O que é Fenômeno Estatístico. E quais são suas variações?
6) O que é um Dado Estatístico?
7) O que é População, Amostra, Parâmetros, Estimativa, Atributo?
8) O que é Variável, Variável Qualitativa e Quantitativa, Variável Discreta (Descontínua) ou Contínua?
9) O que é Amostragem Casual ou Aleatória?
10) O que é Amostragem Proporcional Estratificada?
11) O que é Amostragem Sistemática?
12) O que é Amostragem por Agrupamento?
13) O que são métodos não Probabilísticos?
14) O que é uma Amostragem Acidental?
15) O que é uma Amostragem Intencional?
16) O que é amostragem por Quotas e quais são suas fases?
17) O que são Tabelas e como são normatizadas?
18) O que é uma série Estatística?
19) O que é uma série Homógradas e como se definem seus tipos?
20) O que são séries Conjugadas?
21) O que são Gráficos Estatístico?
22) O que são Gráficos de informação e de Análise?
23) Como os Gráficos são classificados?
24) O que são Diagramas e como podem ser apresentados?
25) Como são construídos os Pictogramas?

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Arranjo-Combinação-Permutação

Trabalho de Matemática ( 3ºs D e E )

1) Oito médicos e uma médica aguardam para serem entrevistados em uma sala com seis cadeiras. De quantos modos eles podem sentar-se não ficando em pé a médica.
2) Após uma reunião 80 pessoas se despedem com apertos de mão. Calcule o total de cumprimentos.
3)Quantos são os anagramas da palavra Livro que:
a) iniciam por vogal .
b) iniciam por consoante
4)Quantos anagramas de 4 letras podem ser formados com as letras da palavra comédia.
5)Quantos triângulos ficam determinados unindo os vértices de um dodecágono
6)Quantos anagramas da palavra DIÂMETRO:
a) começam por R
b) começam por E e terminam por M
c) começam por vogal
d) terminam por consoante
7)Quantas senhas de 6 dígitos podemos formar com os algarismos 2,3,4,5,6,7 e 8 de modo que:
a) comecem com 4.
b) sejam ímpares.
c) iniciem com 6 e terminem com 8.
8)Em um congresso há 30 Físicos e 20 Matemáticos. Quantas comissões podemos formar contendo 3 Físicos e 4 Matemáticos
9)De quantas maneiras podem ser dispostas 4 Harley’s e 4 Suzuki’s, em linha, de modo que não fiquem juntas, duas Harley’s e duas Suzuki’s .
10)Oito tricolores e um motorista pretendem ir ao Morumbi, em uma BMW com 5 lugares, para assistir um jogo. De quantas maneiras poderão ocupar os lugares do automóvel?
11) Quantos times, distintos, de beisebol podem ser formados com 12 jogadores.
12) De quantos modos podemos ordenar 3 livros de Mecânica, 4 de Arquitetura e 5 de Informática, de modo que os livros de mesmo assunto fiquem sempre juntos .

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SEMELHANÇAS (7ªs D e E )

...em geometria, duas figuras são semelhantes quando têm a mesma forma, mas não necessariamente o mesmo tamanho e posição.

CONGRUÊNCIA

Congruentes...segundo o Aurélio:
Diz-se de figuras que coincidem, quando superpostas.

...dois segmentos de reta são congruentes quando possuem a mesma medida.
... duas figuras são congruentes quando há possibildade de colocar uma sobre a outra e elas coincidirem.
...dois triângulos são congruentes, quando ficam estabelecidos uma
correspondência biunívoca entre seus vértices de modo que lados
e ângulos correspondentes sejam congruentes. Desta forma temos os seguintes casos:

1º Caso: Lado, Lado, Lado – LLL
Dois triângulos que possuem os três lados ( com 3 ângulos) congruentes, assim são congruentes.



2º Caso: Lado, Ângulo, Lado – LAL
Dois triângulos que possuem os dois lados e o ângulo compreendido por esses lados congruentes, então são congruentes.



3º Caso: Ângulo, Lado, Ângulo – ALA
Dois triângulos que possuem dois ângulos e o lado compreendido entre esses ângulos congruentes, portanto são congruentes.




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PERMUTAÇÕES SIMPLES ( 3ºs D e E )

-É o tipo de agrupamento ordenado, sem repetição.
Onde o número de elementos (n) é igual ao número de agrupamentos (p). A expressão que a define é Pn = n!

Exercícios:
1) De quantas maneiras distintas podemos dispor, lado a lado, 7 livros em uma estante ?
2) Quantos números ímpares de 5 algarismos, distintos, podemos ter com os números 2,3,4,5,7 .
3) Quantos são os anagramas do nome “Renato”?
4) Quantos anagramas, do nome “Karen”, iniciam por vogal?
5) De quantas maneiras organizamos em uma estante, 6 DVD’s do “007” e 1 DVD dos “Beatles”. Mantendo os “Beatles” sempre em primeiro.
6) Quantos anagramas da palavra EDITORA:
a) começam por A . b) iniciam com A e terminam com E .
7) De quantos modos podemos permutar: 2 livros de Matemática, 3 de Português e 4 de Física, de modo que os livros da mesma disciplina fiquem sempre juntos.
8) De quantas maneiras diferentes 4 Advogados e 1 Juiz podem formar uma fila, sempre ficando o juiz entre 2 advogados.
9) De quantos modos podemos dispor 5 meninas e 4 meninos, em fila, de modo que as crianças de mesmo sexo não fiquem juntas.
10) Amanda digitou uma senha com 6 algarismos não repetidos, sendo o primeiro algarismo “5” e o “4” como último. Em quantas tentativas encontramos sua senha?( Arranjo Simples)

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COMBINAÇÕES SIMPLES (3ºs D e E )

... de n de elementos formam um subconjunto p, onde apresentam agrupamentos em que um grupo é diferente do outro pela natureza dos elementos. Indicamos por Cn, p onde, (n > p ), n é o número de elementos e p é o número de grupos formados por elementos.

C n, p = n! : p! ( n – p )!

Exercícios:
1)Quantos subconjuntos com 3 elementos podemos escrever com o conjunto A={ 1,8, 2,3,7,4,5,}.
2) Quantos comitês de 4 pessoas podem ser formados em uma classe com 16 alunos.
3) Após uma reunião, 120 pessoas se despedem com apertos de mão. Calcule a quantidade de cumprimentos.
4) Quantos times, distintos, de vôlei são formados com 12 jogadores.
5) Quantas diagonais tem um hexágono convexo?
6) Quantos triângulos ficam determinados unindo os vértices de um decágono.
7) Num vôo da ponte aérea Rio-São Paulo, há apenas 7 lugares disponíveis e um grupo de 10 pessoas pretende embarcar nesse vôo. De quantas maneiras é possível lotar o avião?
8) Uma empresa é formada por 6 sócios brasileiros e 4 italianos. De quantos modos podemos formar uma diretoria com 5 sócios, sendo 3 brasileiros e 2 italianos.
9) De quantas maneiras podemos escolher 5 cartas de um baralho com 52 cartas:
a) Aleatoriamente b) As 5 do mesmo naipe .
10) Quais são as chances de você ganhar na mega sena fazendo o jogo mínimo.

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TALES DE MILETO

...Pesquisa...TALES DE MILETO ( 7ªs D e E )
( http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm28/tales.htm )
( http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Tales )

-Tales de Mileto (640-550 a.C.) foi o primeiro matemático grego, nascido por volta do ano 640 e falecido em 550 a.c., em Mileto, cidade da Ásia Menor, descendente de uma família oriunda da Fenícia ou Beócia

-Tales foi incluído entre os sete sábios da antiguidade.
Estrangeiro rico e respeitável, o famoso Tales durante a sua estadia no Egito estudou Astronomia e Geometria.
Ao voltar de novo a Mileto, Tales abandonou, passado algum tempo, os negócios e a vida pública, para se dedicar inteiramente às especulações filosóficas, às observações astronômicas e às matemáticas. Fundou a mais antiga escola filosófica que se conhece - a Escola Jônica.

-Sua fama se estendeu a todo o mundo heleno, graças especialmente à predição de um eclipse do sol, cuja data não se sabe bem ao certo se foi a de 28 de Maio de 585 ou a de 30 de Setembro de 609 a.C., predição resultante do uso de uma das tábuas compostas pelos Caldeus, que anunciavam os períodos de 18 anos e 11 dias dos eclipses solares.

-Proclo, Laércio e Plutano atribuem a Tales não só a transplantação de conhecimentos matemáticos do Egito para a Grécia, mas ainda à descoberta de várias proposições isoladas relativas às paralelas, aos triângulos e às propriedades do círculo, não apresentando nenhuma seqüência lógica, mas com demonstrações dedutivas.

-Poderá dizer-se que Tales deu a essas matemáticas uma característica que se conserva até hoje, o conceito de "demonstração ou prova".

...Algumas proposições de Tales:
- Uma proposição de grande importância, que Tales utilizou, ocorreu na determinação da altura da pirâmide Quéops.
Quando Tales de Mileto, cerca de seiscentos anos antes do nascimento de Cristo, se encontrava no Egito, foi-lhe pedido por um mensageiro do faraó, o nome do soberano, que calculasse a altura da pirâmide Quéops.
Tales apoiou-se a uma vara espetada perpendicularmente ao chão e esperou que a sombra tivesse comprimento igual ao da vara. Disse então a um colaborador:
"Vai mede depressa a sombra: o seu comprimento é igual á altura da pirâmide"

-Tales, para ser rigoroso, deveria ter dito para adicionar à sombra da pirâmide metade do lado da base desta, porque a pirâmide tem uma base larga, que toma uma parte da sombra que teria se tivesse a forma de um pau direito e fino; pode acontecer que o tenha dito, ainda que a lenda não refira.

-Numa representação mais simples: Os triângulos são semelhantes porque têm dois ângulos iguais, então, os lados são proporcionais.





-Esta proposição é considerada a mais notável de toda a obra geométrica de Tales. Deduz-se facilmente, do fato de se poder inscrever um retângulo numa circunferência, verificando que as diagonais do retângulo são diâmetros da circunferência e o retângulo inscrito pode tomar qualquer posição dentro da mesma circunferência.

-Proposição entre Triângulos: Quando duas retas se cortam, os ângulos opostos pelo vértice são iguais (Euclides.I.15).
...Então é proposto que se dois triângulos têm dois ângulos de um iguais a dois ângulos do outro e um lado de um igual a um lado do outro (lado este adjacente ou oposto a ângulos iguais), terão também iguais os outros lados que se correspondem num e noutro triângulo, bem como o terceiro ângulo (Euclides.I.26).

-Segundo Proclo, Tales foi também o primeiro a demonstrar que o diâmetro divide o círculo em duas partes iguais; e que são iguais entre si os ângulos da base de qualquer triângulo isósceles. Transmitiu aos gregos estes e outros conhecimentos, principalmente de astronomia teórica e prática.

...IMPORTÂNCIA DE TALES

-Caráter dedutivo que deu à ciência
-Por meio de Tales e sua escola filosófica os gregos começaram a reunir em corpo a ciência matemática que provinha dos Egípcios e Caldeus, onde aumentaram os conhecimentos da Ciência Matemática.

...Teorema de Tales
(http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Tales)
(Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre)

-O Teorema de Tales foi proposto pelo filósofo grego Tales de Mileto, e afirma que: quando duas retas transversais cortam um feixe de retas paralelas, as medidas dos segmentos delimitados pelas transversais são proporcionais.

-Para entender melhor o Teorema de Tales, é preciso saber um pouco sobre razão e proporção.

...


...No Teorema de Tales: as razões AD/AB, AE/AC e DE/BC são iguais.


-Para a resolução de um problema envolvendo o Teorema de Tales, utiliza-se a propriedade fundamental da proporção, multiplicando-se os meios pelos extremos. Considerando-se o exemplo da figura, tem-se:




-Esquema mostrando validade do Teorema de Tales

...Aplicação do Teorema de Tales. Este teorema pode ser aplicado em triângulos que possuem uma reta paralela a um dos lados.

sendo: 5:10 = 10:20
na qual temos a igualdade (por meio da simplificação)
...5:10 = 5:10
( http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm28/tales.htm )
( http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Tales )

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-Aula do Prof. Luis Carlos sobre a utilização do Teorema de Tales.



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