FUNÇÃO EXPONENCIAL

A função, f: IR em IR definida por f(x)=a^x, com (a>0 e a≠1) é chamada de  função exponencial de base a. O domínio desta função é o conjunto dos números reais, juntamente com o contradomínio. A imagem é o conjunto dos reais positivos. 

EQUAÇÃO EXPONENCIAL

- Equações são expressões algébricas matemáticas que possuem um sinal de igualdade entre duas partes. A intenção de resolver uma equação é determinar o valor da incógnita (valor desconhecido), aplicando técnicas resolutivas. Veja exemplos: 
2x + 14 = 32
3x = 27
5x+1 = 625

- Equações exponenciais são aquelas em que a incógnita se encontra no expoente de pelo menos uma potência. Esse tipo de função apresenta características individuais na análise de fenômenos que crescem ou decrescem rapidamente. Elas desempenham papéis fundamentais na Matemática e nas ciências envolvidas com ela, como: Física, Química, Engenharia, Astronomia, Economia, Biologia, Psicologia entre outras. 

Fonte: www.passeidireto.com

Problemas com funções do 2º grau

Funções no cotidiano





1)  Uma rampa de skate foi projetada segundo a função y = 5 + x² – 6x, com medidas em metros , conjeture:

a) a largura da rampa de skate;

b) a profundidade da rampa;

c) o desenho da rampa no plano cartesiano.

2) João arremessa uma bola de papel em direção ao lixo que obedece a função f(x) = -x²  +8x – 12. Adotando o dimensionamento em metros, determine:

a) a distancia entre João e o cesto de lixo;

b) a altura máxima da bola de papel;

c) o gráfico do movimento no plano cartesiano.

3) A  estrutura parabólica que sustenta uma ponte é dada pela função  y =  x² -8x + 12, com dimensões em metros, determine:

a)  a altura máxima desta estrutura;

b) o comprimento da estrutura que suporta a ponte;

c)  o esboço no plano cartesiano desta estrutura.

4)  O formato de uma panela de paella, corresponde a função y =  7x -12 – x². Sabendo que ela foi dimensionada em metros, determine:

a) a profundidade desta panela;

b) o diâmetro desta panela;

c) o seu desenho no plano cartesiano.

5) O formato parabólico do  tampo lateral  de um  baú corresponde a função y = x -x² + 12,  sabendo que sua medidas são dadas em centímetros, determine:

a) a altura do tampo;

b) o comprimento lateral do tampo;

c)  o esboço da forma parabólica do tampo.

6)  O design frontal de uma igreja corresponde a função y= 15 - x²  -2x. Sabendo que suas dimensões são dadas em metros, determine:

a) sua altura máxima ou seu pé direito;

b) o comprimento frontal da forma parabólica;

c) o desenho de sua figura no plano cartesiano.

7) Uma antena parabólica foi construída segundo a  função y = 2 x²  +5 + 7x . Sabendo que suas medidas são expressas em metros, determine:

a) a profundidade da antena;

b) o diâmetro total da antena;

c) o seu desenho no plano cartesiano.

8)  O arco de um aqueduto romano obedece a função y = -x² +12 + x. Sabendo que suas medidas são expressas em metros, determine:

a)  a altura máxima deste aqueduto;

b) o comprimento frontal do aqueduto;

c)  o esboço de sua forma no  plano cartesiano.

9) Uma bola de basquete é arremessada por um jogador para o alto, percorrendo uma trajetória descrita por h(x) = -x²  + 6x - 5 , em que h é a altura, em metros, e x o tempo, em segundos. Determine:

a)  a máxima altura que a bola atinge em sua trajetória;

b) o instante em a bola atinge a altura máxima;

c) o tempo total que a bola percorre toda a trajetória até tocar o solo.

10)  Um foguete é atirado para cima de modo que sua altura h, em relação ao solo, é dada, pela função h = 15 + 7t – 2t², em que o tempo é dado em segundos e a altura é dada em metros. 

Calcule :  

a) a altura máxima alcançada pelo foguete;  

b) o instante em que o foguete atinge a máxima altura;

c) o tempo total que corresponde a trajetória do foguete.

FUNÇÃO DO 2º GRAU

 Definição

    Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais e a é diferente de 0.

  ...Vejamos alguns exemplos de função quadráticas:

f(x) = 3x² - 4x  + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1

f(x) = x² -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1

f(x) = 2x² + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5

f(x) = - x² + 8x, onde a = -1, b = 8 e c = 0

f(x) = -4x², onde a = - 4, b = 0 e c = 0

Gráfico

    O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax² + bx + c, com a diferente de 0, é uma curva chamada parábola.

Fonte:  www.somatemática.com.br

... vídeo aula

FUNÇÃO DO 1º GRAU

Definição

 Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a diferente de zero.

 Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante.

 Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:

 f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3
 f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7
 f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0

Gráfico

    O gráfico de uma função polinomial do 1º grau,  y = ax + b, com a diferente de 0, é uma reta oblíqua aos eixos Oxe Oy.


Fonte:  Somatematica.com.br & Brasilescola.com






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GeoGebra 
 ...  é um aplicativo de matemática dinâmica que combina conceitos de  geometria e álgebra. O programa permite realizar construções geométricas com a utilização de pontos, retas, segmentos de reta, polígonos etc., assim como permite inserir funções do 1º e 2º grau e alterar todos esses objetos dinamicamente, após a construção estar finalizada.

Baixe o geogebra no http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm

Tutorial para a construções de funções


Instituto Geogebra São Paulo     www.pucsp.br/geogebrasp/

CADERNO DO ALUNO - Volume 2

A Matemática é conhecida como uma das mais complicadas matérias do ensino fundamental e ensino médio, contudo, é uma das principais para o desenvolvimento lógico do ser humano, em sua fase de crescimento. A Matemática está presente no mundo desde os ante-passados, pois desde os primórdios ela já era usada como forma de contagem, pois os números só podiam ser somados, multiplicados, subtraídos ou divididos com o auxílio da Matemática. Com o passar dos anos, a Matemática vem sendo aprimorada afim de aumentar a capacidade de cálculo e lógica, pois com o avanço da tecnologia, permite-se resolver questões complexas, até então, desconhecidas pela capacidade humana.

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Caderno de matemática - Volume 2 - Gabarito
https://docs.google.com/file/d/0B0pn-iEbiKlDODFmMWRjNjMtMWIxZC00NmQwLTk3YTQtM2I2YmU5ODUxZDY2/edit?pli=1&hl=en#

GRANDEZAS PROPORCIONAIS

Plano Cartesiano

René Descartes, filósofo e matemático francês nascido em 1596, é um personagem de tanto destaque que até mesmo nossos dicionários acusam um substantivo e um adjetivo em referências ao seu nome: cartesianismo e cartesiano.

...apresentação da localização dos pontos no Plano Cartesiano...

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SIMULADO DE P.G.

1) Qual o 12º termo da PG (1, 4,...)?  

2)  Calcule o 15º termo da P.G. ( 2, 6,...).

3) Qual o 1º termo da P.G. de razão  6  e  a₄ = 7776?

4) Qual o  1º  termo da P.G. de razão  5  e  a₅ = 1875?

5) Quantos termos tem a P.G. de razão 3, com extremos  5 e  1215?

6) Escreva os 5 meios geométricos entre   5  e 320.

7) Interpole 4 meios geométricos entre 5  e 160.

8) Aline aplicou R$ 500,00 em um banco com rendimento mensal de 2%.Calcule o montante em 9 meses

9) Uma moto foi comprada por R$ 22 mil. Sabendo que ela sofre uma depreciação anual de 2%, calcule seu valor após 6 anos de uso.

10) Uma cultura com 50 bactérias se reproduz a uma taxa de 3% a cada hora. Sabendo que ela foi observada por 16 horas, calcule o total desta população de bactérias, após este experimento.

ARREDONDAMENTO NUMÉRICO

Em muitos momentos é necessário ou conveniente suprimir unidades inferiores às de determinada ordem. Esta técnica é denominada arredondamento de dados.

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

-É uma seqüência de números reais onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior  multiplicado  por uma constante  q (razão). 
 [ cálculo da razão, q =  a₂ /a₁ ]    

                                                     Termo  geral da P.G.

                                                                    a_n = a₁ . q ^{n – 1}  

     - Exemplos: 

a) Calcule o nono termo da P.G.  ( 1, 2, 4,... ).  

b) Qual é o primeiro termo da P.G., se r=-2 e a₆ = -96.

c) Calcule a razão da PG,   se   a₆= 1 e a₁ = 243.

d) Quantos termos tem a P.G. de razão 3, com  extremos  4 e  972 .

e) R$ 200,00  foram

 aplicados em um banco com rendimento mensal  de 2%. Calcule o montante após 8 meses.

--- Exercícios  propostos:

1)  Calcule  o oitavo termo da P.G.   ( 3, 6, 12, ... ) .           

2)  Calcule o sexto termo da P.G.  ( 2, 6,... ) .

3) Qual o primeiro termo da P.G.  de razão  6  e  a₄ = 1296?

4) Quantos termos tem a P.G. de razão 4 com extremos  5 e 1280 ?

5) Na P.G. com 6 termos, o primeiro é 2  e o último 486.  Calcule sua razão.

6) A população de uma cidade cresce a uma taxa de 5% ao ano. Se atualmente há 20 mil habitantes, qual a população prevista para 4 anos.

7)R$400,00 foram aplicados em um banco com rendimento mensal de 1%.  Calcule o montante após  10 meses .

8) A cada ano, o preço de  um carro diminui  5%  em relação ao ano anterior. Sendo  R$16.000,00 o valor atual do  veículo,  calcule sua depreciação em cinco anos.

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Vídeo aula sobre Progressão Geométrica

SIMULADO – SOMA DE P.A

1) Calcule a soma dos 72  termos  da   PA  (2, 5, 8,...).  
2) Qual  é a soma dos números ímpares compreendidos entre 22 e 444?

3) Quantos termos tem a PA (5, 7, 9...), que soma 480 ?

4) João caminha, sempre, 300 m a mais que o dia anterior. Quantos metros ele caminha em 25 dias?

5) Uma TV foi comprada em 24 prestações, sendo a  1ª de R$ 150,00; a  2ª  de R$ 180,00; a  3ª de R$210,00...   Calcule:   a) a 12ª   prestação                b) a 24ª   prestação   c) o valor pago na tv.

6) Um Sargento apresenta  seu regimento, com 171 homens, em forma triangular. Colocando 1 homem na 1ª  fila,  2  na 2ª fila,  3  na 3ª fila ...  
Calcule o número de filas desta apresentação.  
       

Soma de P. A.

Soma  da  Progressão Aritmética

        - Em quanto tempo você encontra a soma de 1+2+3 ... +98 +99+100?  
  - Por volta de 1785, um professor de uma aldeia alemã (Brunswick), apresentou aos seus irrequietos alunos uma atividade que consistia em somar todos os números de 1 a 100. Em poucos minutos o aluno, Karl F. Gauss de 08 anos, encontrou a solução. O menino apresentou a tarefa ao professor, que para sua surpresa estava correta. 
   O menino Gauss observou que as somas dos termos equidistantes dos extremos, eram sempre de mesmo valor, todas obtidas com 50 duplas: 
     (1 e 100), (2 e 99), (3 e 98), ... , etc , a soma era S = 50 x 101 = 5050 
   Assim a soma dos n termos de um P.A.  é dada por:     
                                                                        Sn= ( a1 + an ).n 
                                                                                                         2

     ... Exemplos: 
1) Calcule a soma dos 10 termos da PA (4,7,10,...). 
2) Qual é a soma de todos os números formados por dois algarismos? 
3) Quantos termos tem a PA que soma 1040, se a1 = 7 e an = 123.
4) Encontre o último termo da PA ( 3, 7, 11,....), onde seus termos somam
1378.
5) Quantos termos tem a PA ( 7, 9, 11,...) que soma 160 .

     ... Exercícios: 
1) Qual é a soma dos 20 termos da PA ( 10, 13, 16 ,...)?
2) Qual é a soma dos números ímpares incluídos entre 50 e 500.
3) Um esportista corre sempre 500 metros a mais que o dia anterior. Quantos metros ele corre em 15 dias?
4) Em uma caixa há 100 canetas. Retirando 1 caneta na 1ª vez, 3 na 2ª vez, 5 na 3ª vez, e assim por diante. Em quantas retiradas esvaziaremos a caixa?
5) Um anfiteatro com 800 lugares, tem 20 cadeiras na 1ª fileira, 24 na 2ª fileira, 28 na 3ª fileira ... Calcule o número de fileiras desta sala.
6) Uma TV está foi comprada em 12 prestações, sendo a 1ª de R$ 180,00 , a 2ª de R$ 185,00 , a 3ª de R$ 190,00 e assim por diante. Encontre: 
a) o valor da 12ª parcela
b) o valor total pago na TV.

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Vídeo aula - Soma de P.A.

PROGRESSÃO ARITMÉTICA

SIMULADO – 2º BIMESTRE

Progressão Aritmética - Exercícios:

1)  Qual é o 48º termo da PA (-5,-8,-11,...) ?

2)  Calcule o primeiro termo da PA onde a₁₀=57 e r=3.

3) Quantos termos tem a PA (250, 248,..., 16).

4) Qual a razão da PA, onde  a₁=-252 e a₁₇ =4?

5) Quantos múltiplos de 6  há entre 71 e 220 ?

6) Qual é o primeiro termo de uma PA crescente se o terceiro e o oitavo termo são:  3 e 23?

7)Escreva a PA crescente de 8 termos onde a₁ e a₂  são raízes da equação   x² - 3x -4 = 0.

8) Calcule a razão da PA com oito termos, sabendo que a soma dos dois primeiros é 11 e a soma dos dois  últimos é 71 .

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Copie e resolva os exercícios de aprendizagem no seu caderno e os apresente na  próxima aula.

1)  Calcule  o 25º  termo da PA ( -8, -3, 2, 7.....).

2)  Qual é o 48º termo da PA (-4,-8,-12,...) ?

3)  Qual é o nonagésimo número natural impar?

4) Calcule o primeiro termo da PA onde a₁₀= 3   e   r= 4.

5) Qual é o primeiro termo da PA, se a₃₂= 93 e r= 2 ?

6) Quantos termos tem a PA  (256, 254,..., 16).

7) Quantos termos tem a PA  de  razão 3, cujos extremos são –3 e 264 ?

8) Qual a razão da PA, onde  a₁= -508 e a₁₇ = 4 ?

9) Calcule a razão da PA ( x, 3x, 5x, 7x, ...).

10) Calcule a razão da PA, se a₁=– 6 e a₂₀=32.

11) Quantos múltiplos de 7  há entre 100 e 500 ?

12) Qual é o nº de múltiplos de 3, entre 5 e 41.

13) Qual é o primeiro termo de uma PA crescente se o quarto e o nono termo são:  8 e 113?

14)Escreva a PA crescente de 5 termos onde a₅ e a₁  são raízes da equação  x²-12x-64.

15) Calcule a razão da PA com dez termos, sabendo que a soma dos dois primeiros é 5 e a soma dos dois  últimos é 53 .

16) A soma  de três termos consecutivos de uma PA crescente é igual a 15 e o produto dos mesmos é 120. Escreva esses termos. 

17)Calcule os ângulos de um triângulo que estão em PA, sendo o maior ângulo o triplo do menor.

18) Numa estrada existe um telefone no km 28 e outro no km 648. Você irá colocar entre eles 19 cabines telefônicas, à mesma distância uma da outra. Calcule essa distância?                                                       Prof. Misael

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DEFINIÇÃO:

- Uma progressão aritmética (abreviadamente, P. A.) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante, denominada razão (r = a₂ - a₁).

- Alguns exemplos de progressões aritméticas:

1, 4, 7, 10, 13, ..., é uma progressão aritmética em que a razão (a diferença entre os números consecutivos) é igual a 3.

-2, -4, -6, -8, -10, ..., é uma P.A. decrescente em que a razão é -2.

6, 6, 6, 6, 6, ..., é uma P.A. constante com razão igual a 1.

O termo geral da progressão aritmética, é dado por:

                                                                    a_n = a₁ + (n-1) . r

Fonte: Wikipedia
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Assista os vídeos e saiba mais sobre Progressão Aritmética




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         Resolução da  Equação do 2º grau

Simulado (Caderno do Aluno)

1. Dados os conjuntos seguintes, descritos em linguagem cotidiana, encontre, para cada caso seus elementos e traduza a descrição dada para a linguagem matemática.

a) O conjunto A é formado por números naturais maiores do que 6 e menores ou iguais a 15.

b) O conjunto B é formado por números naturais menores ou iguais a 8.

c) O conjunto C é formado por números inteiros maiores ou iguais a –5 e menores do que 7.

d) O conjunto D é formado por números inteiros maiores ou iguais a –4.

2. Escreva os cinco primeiros números que pertencem a cada um dos seguintes conjuntos e os descreva em linguagem matemática.

a) E é o conjunto dos números naturais que são divisíveis por 3.

b) F é o conjunto dos números naturais ímpares maiores do que 4.

c) G é o conjunto dos números inteiros que elevados ao quadrado resultam em um número

menor do que 12.

d) H é o conjunto dos números naturais que quando dobrados e somados a 1 resultam

em um número maior do que 9.

3. Abaixo são apresentadas três sequências numéricas infinitas. Observando cada uma delas, encontre o que se pede:

a) 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1... Calcule  o 46º  e o  113º  termo?

b) 5, 4, 8, 1, 3, 5, 4, 8, 1, 3, 5, 4, 8, 1, 3, 5, 4... Qual é o 37º e o  234º  termo ?

4. A seguir é apresentada uma sequência de figuras. Observe a regularidade desta sequência e indique qual deve ser a figura que ocupa a  87ª  e 182ª posição.

 

5. Hoje é segunda-feira. Devo pagar uma dívida daqui a exatamente 96 dias. Em que dia da semana será o 96º dia?

6. Um jardineiro colhe de seu jardim 8 rosas na primeira semana. Sabendo que ele sempre colhe três rosas a mais que a semana anterior. Encontre:

a) quantas rosas ele colherá somente  na 8ª semana?

b) quantas rosas ele terá colhido em 8 semanas de trabalho?

7. Um processo de reflorestamento previa a plantação de um certo número x de mudas de árvores. No primeiro dia, foram plantadas 80 árvores, e planejou-se que nos dias seguintes seriam plantadas, por dia, 10 árvores a mais do que teria sido plantado no dia anterior. Isso sendo feito:

a) quantas árvores serão plantadas no 8º dia?

b) qual é o número x, se no final do 10º dia havia sido plantada a metade do total previsto

inicialmente?

8. Em uma sequência numérica, o primeiro termo é igual a 5 e os seguintes são obtidos a partir do acréscimo de três unidades ao termo imediatamente anterior. Nessa sequência:

a) quais são os cinco primeiros termos?

b) qual é o décimo termo?

c) qual é o vigésimo?

d) como se pode determinar um termo an qualquer?

9. Uma sequência numérica crescente é composta por cinco termos. O terceiro termo é o número 13,  o primeiro e o segundo termos são as raízes da equação  X²  – 8.x + 7 = 0. Encontre o quarto e o quinto termos dessa sequência e escreva esta sequencia.

- Resolva o simulado e estude para a avaliação do dia 25 de abril.

A história do número 1 - Atividade avaliativa

- Assista aos vídeos e escreva um relato evidenciando cada período do desenvolvimento numérico ( sumério, egípcio, grego, ... ),  na história da humanidade.
- Entregue o relato até o dia 23 de abril, manuscrito em folha de papel almaço.
(filme completo no endereço ... http://www.youtube.com/watch?v=3rijdn6L9sQ )

Simulado sobre Conjuntos

1) Em uma escola de Arte com 830 alunos, foi notado que 450 deles estudam pintura, 342 estudam escultura e 123 estudam as duas artes. Responda:

a) Quantos alunos estudam apenas pintura?

b) Quantos alunos estudam apenas escultura?   

c) Quantos alunos estudam pintura ou escultura?

d) Quantos alunos estudam escultura e pintura?

e) Quantos alunos não estudam nenhuma das duas artes?

2) A agencia de viagens X-Travel pesquisou 480 clientes, perguntando qual seria a cidade mais agradável para voltar nas próximas férias e coletou que:  153 escolheram Paris,  132 escolheram Londres, 114 escolheram Roma,  41 escolheram Paris e Londres, 36 escolheram Paris e Roma, 28 escolheram Londres e Roma e 18  escolheram os três.    Responda:

a) Quantos escolheram Paris ou Londres?

b) Quantos escolheram somente uma cidade?

c) Quantos escolheram Roma e Londres?

d) Quantos escolheram pelo menos duas cidades?   

e) Quantos escolheram somente duas cidades?

f) Quantos não escolheram nenhuma das cidades?

3) Uma pesquisa gourmet, mostrou que 85 pessoas apreciam massas, 78 apreciam carnes, 65 apreciam verduras, 44 apreciam massas e carnes, 32 apreciam massas e verduras, 21 apreciam verduras e carnes e 13 apreciam as três. Responda:

a) Quantos apreciam somente massas?

b) Quantos apreciam carnes ou verduras?

c) Quantos apreciam apenas dois alimentos?

d) Quantos apreciam apenas um alimento?

e) Quantas pessoas foram consultadas?

Sequencia de Fibonacci

Os alunos deverão assistir ao vídeo e escrever sobre:
- Leonardo Fibonacci
- A criação de coelhos que produz a Sequencia de Fibonacci 
- O Número de ouro

A entrega deste relato será, manuscrito em folha almaço com imagens até dia 21 de março. Não será aceito entrega após esta data.

- Parte do vídeo que aborda a Sequencia de Fibonacci e o número de ouro.



Abaixo temos o vídeo completo deste estudo

Aula sobre Conjuntos

Conceitos essenciais

Conjunto: representa uma coleção de objetos, geralmente representado por letras maiúsculas;

Elemento: qualquer um dos componentes de um conjunto, geralmente representado por letras minúsculas;

Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto. 

Como estudar com eficiência

Professor PierLuigi Piazzi

- Em uma palestra sobre o assunto, o professor inicia provando que aluno e estudante são palavras antagônicas. Para ele, aluno é “aquele que assiste aula”, pois trata-se de uma ação coletiva e passiva. Já estudante, é o que aprende, em uma ação solitária e isolada.

- O professor Pierluigi explica, durante cerca de uma hora, como nosso cérebro funciona, e mostra que nunca é tarde para desenvolvê-lo, e todos tem esta capacidade.

Aula de Matemática

Pra que dividir sem raciocinar

Na vida é sempre bom multiplicar

E por A mais B, eu quero te mostrar

Que gosto imensamente de você

Por uma fração infinitesimal,

Você criou um caso de cálculo integral

E para resolver este problema

Eu tenho um teorema banal

Quando dois meios se encontram desaparece a fração

E se acharmos a unidade, esta resolvida a questão

Prá finalizar, vamos recordar

Que menos por menos dá mais amor

Se vão as paralelas, ao infinito se encontrar

Por que demoram tanto os corações a se integrar?

Se infinitamente, incomensuravelmente,

Eu estou perdidamente apaixonado por você

... Tom Jobim